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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mo 27.04.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | gesucht wird die reelle lösung der gleichung [mm] x^5-x-1=0
[/mm]
a)bestimmen sie grafisch ein intervall, in dem die nullstelle liegt
b) lösen sie die gleichung mit hilfe einer geeigneten iteration: [mm] x_{n+1}=g(x_n), n\ge0
[/mm]
c)bestimmen sie die lösung auf 3 stellen nach dem komma genau |
hallo
a) die nullstelle müsste zwischen 1 und 2 liegen, also hätte ich I[1,2]
b) [mm] x=x^5-1
[/mm]
[mm] x_{n+1}=g(x_n)=x_n^5-1
[/mm]
nun muss ich doch die 1.ableitung bilden und ein L finden, dass <1, damit die lipschitzbedingung erfüllt ist, oder? was setze ich da ein? sollte ich das intervall evtl doch erweitern auf 0,5--denn [mm] g'(x)\le 5*(0,5)^4=0,3125<1
[/mm]
wie man sieht bin ich mir hier schon nciht richtig sicher, da wir sowas noch nie gerechnet haben. und um dann die [mm] x_n [/mm] zu berechnen, beginne ich einfach mit einem selbstgewählten startwert, oder? wonach sollte man den auswählen? am besten so nah wie möglich am ergebnis oder?
vielen dank schonmal für jede hilfe!
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Mo 27.04.2009 | | Autor: | MRJ2K |
Ist denn ein bestimmtes Iterationverfahren gefragt?
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Hallo gigi,
Für die Funktion g mit [mm] g(x)=x^5-1 [/mm] und das Intervall [1,2]
ist die Bedingung |g'(x)|<1 jedenfalls nicht erfüllt. Man
kann aber die gegebene Gleichung im interessierenden
Intervall z.B. auch auf diese Form bringen:
[mm] x=\wurzel[5]{x+1}
[/mm]
Hilft das weiter ?
Es gäbe auch noch ganz andere mögliche Umformungen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:42 Di 28.04.2009 | | Autor: | gigi |
ah ja, danke! auf alle fälle erhalte ich damit gute werte für die [mm] x_n:
[/mm]
[mm] x_1=1
[/mm]
[mm] x_2=1.148698355
[/mm]
[mm] x_3=1.165292873................. [/mm] das geht in die richtige richtung!
nur ganz verstanden habe ich das mit der lipschitzbedingung noch nicht! und warum genau die 1.ableitung? muss gelten [mm] g'(x)\le L\le [/mm] 1 oder [mm] g(x)\le L\le [/mm] 1??
und wie gehst du bei solchen verfahren ran? wie findest du das richtige intervall? versuchst du es erst mit der funktion, testest die L-bedingung und wenn das nicht geht, formt man die gleichung um?
und woher weiß ich, wann ich die lösung auf 3 stellen genau bestimmt habe? wie rechnet man das am cleversten?
danke schonmal und viele grüße
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> ah ja, danke! auf alle fälle erhalte ich damit gute werte
> für die [mm]x_n:[/mm]
> [mm]x_1=1[/mm]
> [mm]x_2=1.148698355[/mm]
> [mm]x_3=1.165292873.................[/mm] das geht in die richtige
> richtung!
> nur ganz verstanden habe ich das mit der lipschitzbedingung
> noch nicht! und warum genau die 1.ableitung? muss gelten
> [mm]g'(x)\le L\le[/mm] 1 oder [mm]g(x)\le L\le[/mm] 1??
Ich weiß nicht, ob man dies in diesem Zusammenhang
"Lipschitzbedingung" nennt. Es geht um folgenden Satz:
Sei g eine differenzierbare Funktion, welche das Intervall
[a,b] in sich abbildet. Existiert eine Zahl L mit [mm] 0\le\,L\,<\,1\,, [/mm]
so dass [mm] |g'(x)|\le [/mm] L für alle [mm] x\in[a,b], [/mm] dann existiert genau eine
Lösung [mm] \bar{x}\in[a,b] [/mm] von x=g(x), und die Iterationsfolge [mm] x_{n+1}=g(x_n) [/mm]
konvergiert für jeden Startwert [mm] x_0\in[a,b] [/mm] gegen [mm] \bar{x}\,.
[/mm]
Die Konstante heisst L, also wohl doch "Lipschitz"...
> und wie gehst du bei solchen verfahren ran? wie findest du
> das richtige intervall? versuchst du es erst mit der
> funktion, testest die L-bedingung und wenn das nicht geht,
> formt man die gleichung um?
Gleichung auf die Form x=g(x) bringen. Dann den Graph
von g sowie die Gerade y=x betrachten. Falls in einer Umgebung
des gesuchten Schnittpunktes [mm] |g'(x)|\le\,L\,<1 [/mm] ist, kann man
ein passendes Intervall finden, und das Verfahren konvergiert.
Andernfalls die Gleichung geeignet umformen.
> und woher weiß ich, wann ich die lösung auf 3 stellen
> genau bestimmt habe? wie rechnet man das am cleversten?
Mit den heutigen Rechengeräten bedeuten ein paar zusätzliche
Rechenschritte ja praktisch kaum einen Mehraufwand.
Wenn sich bei einem Rechenschritt die Dezimalen bis zur
vierten Nachkommastelle nicht mehr verändern, kann man
wohl annehmen, dass man das korrekte Resultat auf 3
Nachkommastellen erhält, indem man noch richtig rundet.
Aus dieser "Faustregel" könnte man ein strenges Kriterium
machen, wenn man noch den Wert von L einbezieht: die
Konvergenz ist umso schneller, je kleiner L ist.
LG Al-Chw.
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