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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Gruppe [mm] S_{3} [/mm] und [mm] D_{6} [/mm] isomorph sind. |
Hallo!
Also ich bin bisher soweit:
[mm] S_{3} [/mm] = <(1 2),(1 2 3)>
[mm] D_{6} [/mm] = [mm] {a^{i}b^{j} | 0 \le i < 3, 0 \le j < 2}
[/mm]
Dann konstruiere ich eine Abb [mm] \alpha [/mm] mit
[mm] \alpha [/mm] : [mm] S_{3} \to D_{6}
[/mm]
(1 [mm] 2)^{i}(1 [/mm] 2 [mm] 3)^{j} \mapsto a^{i}b^{j} [/mm] (muss bei den (1 [mm] 2)^{i} [/mm] das hoch i sein?)
nun müsste ich, glaube ich, zwei Mengen D,E konstruieren, so dass
[mm] \alpha(DE)=H \in S_{3} [/mm] oder? dafür kann man glaube ich gebrauchen, dass <(1 2),(1 2 3)> erzeugnis von [mm] S_{3} [/mm] ist. aber wie?
weiter ist doch
[mm] \alpha(S_{3})=D_{6} [/mm] => injektivität
nun müsste ich noch surjektivität beweisen oder?
Da bräuchte ich eine kleine Hilfe von euch!
Wenn dies bewiesen ist folgt doch das [mm] \alpha [/mm] Isomorph. !
danke für Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mo 27.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> [mm]S_{3}[/mm] = <(1 2),(1 2 3)>
> [mm]D_{6}[/mm] = [mm]{a^{i}b^{j} | 0 \le i < 3, 0 \le j < 2}[/mm]
>
> Dann konstruiere ich eine Abb [mm]\alpha[/mm] mit
> [mm]\alpha[/mm] : [mm]S_{3} \to D_{6}[/mm]
> (1 [mm]2)^{i}(1[/mm] 2 [mm]3)^{j} \mapsto a^{i}b^{j}[/mm]
ist dieses [mm] $\alpha$ [/mm] denn ein homomorphismus? gilt zum beispiel [mm] $\alpha((1, [/mm] 2) [mm] \circ [/mm] (1, 2)) = [mm] \alpha((1, [/mm] 2)) [mm] \circ \alpha [/mm] ((1, 2))$? rechne das mal aus, dann siehst du auch, wie man diese abbildung besser definiert.
> nun müsste ich, glaube ich, zwei Mengen D,E konstruieren,
> so dass
> [mm]\alpha(DE)=H \in S_{3}[/mm] oder?
warum? ich sehe dafür keinen grund.
> weiter ist doch
> [mm]\alpha(S_{3})=D_{6}[/mm] => injektivität
du meinst vermutlich, dass daraus surjektivität folgt? warum gilt denn die erste gleichung?
bei abbildungen zwischen endlichen, gleichmächtigen mengen ist es häufig hilfreich zu wissen, dass diese genau dann surjektiv sind, wenn sie injektiv sind.
überlge dir mal, wie man den homomorphismus richtig definiert und schau dann mal wie weit du kommst.
grüße
andreas
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Ich komme einfach net drauf wie mans besser definieren kann...
also eigentl. versteh ich nicht mal ganz wie man [mm] \alpha [/mm] anwendet bei der Def. :(
>> [mm] \alpha(DE)=H \in S_{3} [/mm] $ oder?
>warum? ich sehe dafür keinen grund
da war ich kurz mit meinen Gedanken woanders...
ich meinte natürlich
[mm] \alpha(DE) [/mm] = [mm] \alpha(D) \alpha(E)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mo 27.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
bevor du weiter machst, musst du erstmal eine vernünftige definition des isomorphismus [mm] $\alpha$ [/mm] finden.
hast du dir denn schon überlegt, was $(1, 2) [mm] \circ [/mm] (1, 2)$ ist? und auf was das unter [mm] $\alpha$ [/mm] abgebildet wird? was ist [mm] $\alpha((1, [/mm] 2))$ und was ist dann [mm] $\alpha((1, [/mm] 2)) [mm] \circ \alpha((1, [/mm] 2))$? darf das passieren? probiere diese fragen doch mal soweit wie möglich zu beantworten.
grüße
andreas
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also [mm] (1,2)\circ(1,2) [/mm] müsste id sein oder?
dann ist [mm] \alpha((1,2)\circ(1,2)=\alpha(id) [/mm] mir ist jetzt aber nicht ganz klar, was das [mm] \alpha [/mm] damit macht.
das gleiche Problem habe ich halt auch bei [mm] \alpha(1,2)\circ\alpha(1,2)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 27.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> also [mm](1,2)\circ(1,2)[/mm] müsste id sein oder?
ja, genau.
> dann ist [mm]\alpha((1,2)\circ(1,2)=\alpha(id)[/mm] mir ist jetzt
> aber nicht ganz klar, was das [mm]\alpha[/mm] damit macht.
man kann ja [mm] $\textrm{id} [/mm] = (1, [mm] 2)^0 \circ [/mm] (1, 2, [mm] 3)^0$ [/mm] schreiben. dann solltest du nach deiner obigen definition auch angeben können, was das bild davon unter deiner im ersten post stehenden definition von [mm] $\alpha$ [/mm] ist (das sollte ja ein produkt von $a$'s und $b$'s sein). wenn dir das klar ist, sollte dir auch klar sein, wie du den anderen ausdruck ausrechnest.
grüße
andreas
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aaaha!!
also ist [mm] \alpha(1,2)\circ\alpha(1,2) [/mm] = [mm] \alpha((1,2)^{1}(1,2,3)^{0})\circ \alpha((1,2)^{1}(1,2,3)^{0}) [/mm] = [mm] a^{1}b^{0}a^{1}b^{0}=a^{2}
[/mm]
was [mm] \not= a^{0}b^{0}
[/mm]
was dann leider zeigt, dass [mm] \alpha [/mm] kein Isomorph. ist...
dann bin ich endlich soweit mein [mm] \alpha [/mm] neu zu def..
hm,...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Mo 27.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
genau, damit hast du gesehen, dass [mm] $\alpha$ [/mm] so kein homomorphismus ist. man muss elemente der ordnung $n$ aus [mm] $S_3$ [/mm] auf elemente selber ordnung in [mm] $D_6$ [/mm] abbilden, damit es klappen kann. was gibt es damit für einen nahe liegenden kandidaten für das bild von $(1, 2)$ in [mm] $D_6$?
[/mm]
danach muss man für die homorphie nur noch nachrechnen, dass alle relationen, welche in [mm] $S_3$ [/mm] gelten ($(1, [mm] 2)^2 [/mm] = [mm] \textrm{id}$, [/mm] $(1, 2, [mm] 3)^3 [/mm] = [mm] \textrm{id}$ [/mm] und $(1, 2) [mm] \circ [/mm] (1, 2, 3) [mm] \circ [/mm] (1, 2) = (1, 2, [mm] 3)^2$) [/mm] auch für die entsprechenende bilder gelten.
grüße
andreas
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solangsam komme ich mir wirklich doof vor,
ich komme einfach nicht drauf!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Mo 27.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo,
schau dir nochmal die definition von [mm] $D_6$ [/mm] an (wie habt ihr das definiert?). welche "rechenregelen" gelten darin? was ist zum beispiel $(ab)(a^2b)$ oder [mm] $b^2$? [/mm] wenn dir klar ist, wie man in der gruppe rechnet, sollte dir auch klar sein, wie man [mm] $\alpha$ [/mm] definiern muss.
grüße
andreas
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