www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Abbildungen" - isomorphe Abbildung
isomorphe Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

isomorphe Abbildung: Hilfe zu Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Do 08.12.2011
Autor: yangwar1

Aufgabe
Ist $ F: V [mm] \to [/mm] W $ ein Isomorphismus, dann gilt $ V = [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] $ genau dann wenn $ W = [mm] F(U_{1}) \oplus F(U_{2}) [/mm] $ .

Mein Ansatz ist folgender:
Da die Abbildung ein Isomorphismus ist, ist sie linear und auch bijektiv.

Zu zeigen sind zwei Richtungen:
Erste Richtung: Sei $ V = [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] $. Dann gilt nach Definition der direkten Summe: $ V = [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] $ und $ [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = 0 $.

Zweite Richtung:
Sei $ W = [mm] F(U_{1}) \oplus F(U_{2}) [/mm] $. Dann gilt: $ W = [mm] F(U_{1}) [/mm] + [mm] F(U_{2}) [/mm] $ und $ [mm] F(U_{1}) \cap F(U_{2}) [/mm] = 0 $. Das heißt, dass die Schnittmenge der Abbildungen der Unterektorräume U1 und U2 von V leer ist. Somit ist $ [mm] F^{-1}(U_{1}) [/mm] + [mm] F^{-1}(U_{2}) [/mm] = V [mm] \gdw U_{1}+ U_{2} [/mm] = V $. Da der Schnitt der Abbildungen von U1 und U2 leer sind, und F eine bijektive Abbildung ist, ist $ [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = 0 $


        
Bezug
isomorphe Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Fr 09.12.2011
Autor: fred97


> Ist [mm]F: V \to W[/mm] ein Isomorphismus, dann gilt [mm]V = U_{1} \oplus U_{2}[/mm]
> genau dann wenn [mm]W = F(U_{1}) \oplus F(U_{2})[/mm] .
>  Mein Ansatz ist folgender:
>  Da die Abbildung ein Isomorphismus ist, ist sie linear und
> auch bijektiv.
>
> Zu zeigen sind zwei Richtungen:
>  Erste Richtung: Sei [mm]V = U_{1} \oplus U_{2} [/mm]. Dann gilt
> nach Definition der direkten Summe: [mm]V = U_{1} + U_{2}[/mm] und
> [mm]U_{1} \cap U_{2} = 0 [/mm].

Das war schon alles ?? Du mußt zeigen:   $ W = [mm] F(U_{1}) \oplus F(U_{2}) [/mm] $

>
> Zweite Richtung:
>  Sei [mm]W = F(U_{1}) \oplus F(U_{2}) [/mm]. Dann gilt: [mm]W = F(U_{1}) + F(U_{2})[/mm]
> und [mm]F(U_{1}) \cap F(U_{2}) = 0 [/mm]. Das heißt, dass die
> Schnittmenge der Abbildungen der Unterektorräume U1 und U2
> von V leer ist. Somit ist [mm]F^{-1}(U_{1}) + F^{-1}(U_{2}) = V \gdw U_{1}+ U_{2} = V [/mm].
> Da der Schnitt der Abbildungen von U1 und U2 leer sind, und
> F eine bijektive Abbildung ist, ist [mm]U_{1} \cap U_{2} = 0[/mm]

Dieses Geschwafel würde ich als Korrektor nie und nimmer akzeptieren.

Zeige doch geradeheraus:   $ V = [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] $ und $ [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = [mm] \{0\} [/mm] $.

FRED

>  


Bezug
                
Bezug
isomorphe Abbildung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:05 Fr 09.12.2011
Autor: yangwar1

>>  Erste Richtung: Sei $ V = [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] $. Dann gilt
>> nach Definition der direkten Summe: $ V = [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] $ und
>> $ [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = 0 $.

>Das war schon alles ?? Du mußt zeigen:   $ W = [mm] F(U_{1}) \oplus F(U_{2}) [/mm] $

Natürlich war das noch nicht alles. Das war eben nur der Ansatz, den ich für richtig hielt.
Der Gedanke ist eben folgender: Da die Untervektorräume U1 und U2 addiert V ergeben, und die Abbildung F bijektiv ist sowie der Schnitt von U1 und U2 leer ist, gilt auch F(U1)+F(U2)=W. Da U1 geschnitten U2 = 0 und F bijektiv, ist $ [mm] F(U_1)\capF(U_2) [/mm] = 0 $.
Das ist natürlich wieder "Geschwafel", das als Beweis keineswegs taugt. Aber wie beweist man es denn "geradeheraus"?

Bezug
                        
Bezug
isomorphe Abbildung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 So 11.12.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]