irreduzible Polynome < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:13 Mi 28.03.2007 | | Autor: | LittleStudi |
| Aufgabe | Finden Sie alle normierten, irreduziblen Polynome vom Grad 2, 3 und 4 über [mm] \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ [/mm] (Zum Finden gehört natürlich der Beweis, dass die gefunden Polynome irreduzibel sind und das es alle sind)
Hinweis: Es gibt 1,2 bzw. 3. |
Könnt ihr mir damit helfen?
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> Finden Sie alle normierten, irreduziblen Polynome vom Grad
> 2, 3 und 4 über [mm]\IZ[/mm] / [mm]2\IZ[/mm] (Zum Finden gehört natürlich der
> Beweis, dass die gefunden Polynome irreduzibel sind und das
> es alle sind)
>
> Hinweis: Es gibt 1,2 bzw. 3.
> Könnt ihr mir damit helfen?
Hallo,
ich sehe nicht Deine eigenen Überlegungen und Ansätze.
Wann ist ein Polynom irreduzibel?
Was weißt Du über irreduzible Polynome?
An welcher Stelle kommst Du nicht weiter?
Gruß v. Angela
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Soviel ich weiß ist ein irreduzibler Polynom ein Polynom ohne Nullstelle, oder? Aber gibt es davon nicht unendlich viele?
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Das Entscheidende ist hier, dass es P. über [mm] \IZ/2\IZ [/mm] sind, d.h. die Koeffizienten sind ganzzahling und mod 2 zu nehmen, also nur Elemente aus {0;1}! (-1 ist auch wieder 1, wenn man mod 2 rechnet). Für ein P. 2. Grades gibt es nur die Möglichkeiten:
[mm] x^{2} [/mm] = x*x
[mm] x^{2}+1 [/mm] =(x+1)*(x+1), da [mm] (x+1)*(x+1)=x^{2}+2*x+1 =x^{2}+1, [/mm] da 2=0 mod 2 ist
[mm] x^{2}+x [/mm] = x*(x+1)
[mm] x^{2}+x+1 [/mm] =? (das muss das irreduzible P. sein - beweise es).
Analog verfährst du mit Graden 3 und 4.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Mi 28.03.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> Soviel ich weiß ist ein irreduzibler Polynom ein Polynom
> ohne Nullstelle, oder?
kleine Bemerkung: das gilt nur dann, wenn der Grad des Polynoms 2 oder 3 ist. Andernfalls ist es im Allgemeinen falsch.
Allgemein heisst ein Polynom $f [mm] \in [/mm] K[x] [mm] \setminus [/mm] K$ irreduzibel, wenn aus $f = g h$ mit $g, h [mm] \in [/mm] K[x]$ bereits folgt, dass [mm] $\deg [/mm] g = 0$ oder [mm] $\deg [/mm] h = 0$ ist.
LG Felix
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