irreduzible Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | geg.:
f, g, h [mm] \in \IK[T] [/mm] |
(1)
Sind dies gleichwertige Definitionen?
NORMIERTES Polynom f ist irreduzibel
<=>
f=gh mit g oder h invertierbar (*)
<=>
g oder h Einheit
<=>
gh ist Trivialzerlegung von f
(2)
Warum muss f normiert sein?
(3)
In [mm] \IZ [/mm] kann man ja leicht finden, dass die Einheiten nur 1,-1 sind.
Wie sieht das in [mm] \IK[T] [/mm] aus?
Da kommt es wohl darauf an, was [mm] \IK [/mm] ist, oder?
Vlt. kann dazu jmd. ein paar Beispiele geben
(4)
bzgl (*)
Eine Verknüpfg mit einem Inversen liefert allg. das Neutralelement.
Hier geht es aber nur um Multiplkative Inverse, oder?
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| Aufgabe | Sei geg.
[mm] q=\bruch{-x^2-2x}{x^3+x+1}
[/mm]
Bestimme Grad(q) |
Ist das der Grad ( [mm] \bruch{x^2}{x^3})=Grad(x^{-1})=-1 [/mm] ?
EDIT: So, wie es vorher dastand, war es etwas unsinnig.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 So 12.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei geg.
>
> [mm]q=\bruch{-x^2-2x}{x^3+x+1}[/mm]
>
> Bestimme Grad(q)
>
> Ist das der Grad ( [mm]\bruch{x^2}{x^3})=Grad(x^{-1})=-1[/mm] ?
Vermutlich ja. Das hängt davon ab, wie ihr den Grad einer rationalen Funktion definiert habt. (Eine andere Definition ist das Maximum aus Zähler- und Nennergrad.)
Allerdings ausrechnen solltest du das vermutlich anders (je nachdem wie euer Grad definiert ist). Aber wie schon gesagt, das hängt von der Definition ab.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 So 12.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> geg.:
>
> f, g, h [mm]\in \IK[T][/mm]
> (1)
> Sind dies gleichwertige Definitionen?
>
> NORMIERTES Polynom f ist irreduzibel
> <=>
> f=gh mit g oder h invertierbar (*)
> <=>
> g oder h Einheit
> <=>
> gh ist Trivialzerlegung von f
Wieso taucht "normiertes Polynom" hier nur in der ersten Äquivalenz auf?
Und in der dritten und vierten 'Definition' gehst du ebenfalls von $f = g [mm] \cdot [/mm] h$ aus, oder?
Schreib doch mal bitte deutlicher auf, welche vier Definitionen du meinst.
> (2)
> Warum muss f normiert sein?
Bei den Äquivalenzen oben? Keine Ahnung.
> (3)
> In [mm]\IZ[/mm] kann man ja leicht finden, dass die Einheiten nur
> 1,-1 sind.
Ja.
> Wie sieht das in [mm]\IK[T][/mm] aus?
> Da kommt es wohl darauf an, was [mm]\IK[/mm] ist, oder?
Schon. Wenn mit [mm] $\IK$ [/mm] ein Koerper gemeint ist, dann sind alle Elemente [mm] $\neq [/mm] 0$ in [mm] $\IK$ [/mm] Einheiten. Und die Einheiten in [mm] $\IK[T]$ [/mm] sind dann genau die Polynome von Grad 0, also die Elemente aus [mm] $\IK \setminus \{ 0 \}$.
[/mm]
> Vlt. kann dazu jmd. ein paar Beispiele geben
>
> (4)
> bzgl (*)
> Eine Verknüpfg mit einem Inversen liefert allg. das
> Neutralelement.
> Hier geht es aber nur um Multiplkative Inverse, oder?
Was ist der Kontext von diesen Aussagen? Was ist z.B. (*)?
Was ist mit Verknüpfung gemeint? Eine multiplikative Operation?
LG Felix
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> Moin!
Hallo, danke für die Antwort!
>
> > geg.:
> >
> > f, g, h [mm]\in \IK[T][/mm]
> > (1)
> > Sind dies gleichwertige Definitionen?
> >
> > NORMIERTES Polynom f ist irreduzibel
> > <=>
> > f=gh mit g oder h invertierbar (*)
> > <=>
> > g oder h Einheit
> > <=>
> > gh ist Trivialzerlegung von f
>
> Wieso taucht "normiertes Polynom" hier nur in der ersten
> Äquivalenz auf?
Es war "gemeint", dass alle f normiert sind.
>
> Und in der dritten und vierten 'Definition' gehst du
> ebenfalls von [mm]f = g \cdot h[/mm] aus, oder?
>
ja
> Schreib doch mal bitte deutlicher auf, welche vier
> Definitionen du meinst.
>
> > (2)
> > Warum muss f normiert sein?
>
> Bei den Äquivalenzen oben? Keine Ahnung.
Jedenfalls steht bei mir im Skript die Definition mit normierten Polynomen f. Das muss doch irgendnen Grund haben, oder?
Andersherum, machen wir eine Aufgabe daraus:
Zeige /widerlege:
Ein nicht normiertes Polynom f [mm]\in \IK[T][/mm] mit Grad(f)>1 und f=gh mit g oder h invertierbar, g,h[mm]\in \IK[T][/mm], ist immer reduzibel.
>
> > (3)
> > In [mm]\IZ[/mm] kann man ja leicht finden, dass die Einheiten
> nur
> > 1,-1 sind.
>
> Ja.
>
> > Wie sieht das in [mm]\IK[T][/mm] aus?
> > Da kommt es wohl darauf an, was [mm]\IK[/mm] ist, oder?
>
> Schon. Wenn mit [mm]\IK[/mm] ein Koerper gemeint ist, dann sind alle
> Elemente [mm]\neq 0[/mm] in [mm]\IK[/mm] Einheiten. Und die Einheiten in
> [mm]\IK[T][/mm] sind dann genau die Polynome von Grad 0, also die
> Elemente aus [mm]\IK \setminus \{ 0 \}[/mm].
>
> > Vlt. kann dazu jmd. ein paar Beispiele geben
> >
> > (4)
> > bzgl (*)
> > Eine Verknüpfg mit einem Inversen liefert allg. das
> > Neutralelement.
> > Hier geht es aber nur um Multiplkative Inverse, oder?
>
> Was ist der Kontext von diesen Aussagen? Was ist z.B. (*)?
>
> Was ist mit Verknüpfung gemeint? Eine multiplikative
> Operation?
Das war wiederum als Fußnote gemeint. Ich beziehe mich hier auf die ebenfalls mit (*) gekennzeichnete Zeile
" <=>
f=gh mit g oder h invertierbar (*)"
>
> LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 15.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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