irreduzibl. Pol., 2 Variablen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] f(x,y)=1-6xy+2x^3+4y^3 [/mm] irreduzibel, aber nicht absolut irreduzibel ist. |
Dass es nicht absolut irreduzibel ist, ist mir klar. Man sucht sich eine Nullstelle und spaltet dann diesen Linearfaktor ab, wobei die Koeffizienten aus [mm] \overline{\IQ} [/mm] sind.
Wie zeige ich nun, dass es irreduzibel in [mm] \IQ[x,y] [/mm] ist?
Ich hab zuerst an das Eisensteinkriterium gedacht, wobei ich f als Polynom in [mm] \IQ[x][y] [/mm] aufgefasst hab, dann aber festgestellt hab, dass hinten als "Konstante" [mm] 2x^3+1 [/mm] bleibt, was von einem Primelement in [mm] \IQ[x] [/mm] geteilt werden soll. Funktioniert also nicht.
Habt ihr einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Fr 28.06.2013 | | Autor: | hippias |
Da der Grad von $f$ klein ist, wuerde ich den Ansatz $f= gh$, [mm] $g,h\in \IQ[x,y]$, [/mm] machen, ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich.
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Ok, das wäre mein Plan B gewesen :)
Ich probier's später mal aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Di 02.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass [mm]f(x,y)=1-6xy+2x^3+4y^3[/mm] irreduzibel, aber
> nicht absolut irreduzibel ist.
> Dass es nicht absolut irreduzibel ist, ist mir klar. Man
> sucht sich eine Nullstelle und spaltet dann diesen
> Linearfaktor ab, wobei die Koeffizienten aus [mm]\overline{\IQ}[/mm]
> sind.
>
> Wie zeige ich nun, dass es irreduzibel in [mm]\IQ[x,y][/mm] ist?
> Ich hab zuerst an das Eisensteinkriterium gedacht, wobei
> ich f als Polynom in [mm]\IQ[x][y][/mm] aufgefasst hab, dann aber
> festgestellt hab, dass hinten als "Konstante" [mm]2x^3+1[/mm]
> bleibt, was von einem Primelement in [mm]\IQ[x][/mm] geteilt werden
> soll. Funktioniert also nicht.
Nun, $2 [mm] x^3 [/mm] + 1$ ist genau dann ein Primelement in [mm] $\IQ[x]$, [/mm] wenn es dort irreduzibel ist. Dies ist aber genau dann der Fall (Grad 3!), wenn es in [mm] $\IQ$ [/mm] keine Nullstelle hat.
Wenn nun $p/q$ eine Nullstelle in [mm] $\IQ$ [/mm] ist mit $p, q [mm] \in \IZ$ [/mm] teilerfremd, dann gilt $p [mm] \mid [/mm] 1$ und $q [mm] \mid [/mm] 2$. Damit gibt es nur sehr wenige Moeglichkeiten, die du schnell durchprobieren kannst.
Um zu zeigen, dass es nicht absolut irreduzibel ist, hilft dann aber der Ansatz von hippias mehr weiter, da du dort direkt siehst, wann es reduzibel (ueber einem passenden Unterkoerper von [mm] $\overline{\IQ}$) [/mm] und wann es irreduzibel (ueber [mm] $\IQ$) [/mm] ist.
LG Felix
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