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Forum "Algebraische Geometrie" - irreduzibeles Polynome normal
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irreduzibeles Polynome normal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:03 Mo 23.01.2017
Autor: Schobbi

Aufgabe
a. Zeigen Sie, dass der einzige Automorphismus von [mm] \IQ(\sqrt[3]{2}) [/mm] die Identität ist.

b. Zeigen Sie, dass jedes irreduzible Polynom [mm] p(X)\in\IQ[X] [/mm] höchstens eine Nullstelle in [mm] \IQ(\sqrt[3]{2}) [/mm] besitzt. Somit ist [mm] \IQ\subset\IQ(\sqrt[3]{2}) [/mm] nicht normal.

Moin zusammen,

Mir fehlt für obige Aufgabe noch die zündende Idee bzw. einen geeigneten Ansatz wie ich sie bearbeiten kann. Vielleicht könnt ihr mir helfen.

Kann ich Aufgabenteil b wie folgt begründen?
Sei [mm] L=\IQ(\sqrt[3]{2}). [/mm] Das Minimalpolynom des erzeugten Elements ist dann [mm] X^3-2, [/mm] was offensichtlich komplexe Nullstellen hat, welche nicht in L liegen. Also ist die Körpererweiterung nicht normal.

um zu zeigen, dass p(X) höchstens eine Nullstelle in [mm] \IQ(\sqrt[3]{2}) [/mm] hat, kann ich doch erstmal sagen dass mit dem Haupsatz jedes Polynom über [mm] \IC [/mm] in Linearfaktoren zerfällt und somit auch mindestens eine Nullstelle in [mm] \IC [/mm] haben muss. Aber wie kann ich das höchstens und auf die Körpererweiterun bezogen zeigen?

Vielen Dank für Eure Anregungen und Hilfen

        
Bezug
irreduzibeles Polynome normal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Mo 23.01.2017
Autor: hippias


> a. Zeigen Sie, dass der einzige Automorphismus von
> [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] die Identität ist.
>  
> b. Zeigen Sie, dass jedes irreduzible Polynom [mm]p(X)\in\IQ[X][/mm]
> höchstens eine Nullstelle in [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] besitzt.
> Somit ist [mm]\IQ\subset\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] nicht normal.
>  Moin zusammen,
>
> Mir fehlt für obige Aufgabe noch die zündende Idee bzw.
> einen geeigneten Ansatz wie ich sie bearbeiten kann.
> Vielleicht könnt ihr mir helfen.
>  
> Kann ich Aufgabenteil b wie folgt begründen?
>  Sei [mm]L=\IQ(\sqrt[3]{2}).[/mm] Das Minimalpolynom des erzeugten
> Elements ist dann [mm]X^3-2,[/mm] was offensichtlich komplexe
> Nullstellen hat, welche nicht in L liegen. Also ist die
> Körpererweiterung nicht normal.

Die Begründung könnte als nicht ausführlich genug angesehen werden, ist aber richtig.


>  
> um zu zeigen, dass p(X) höchstens eine Nullstelle in
> [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] hat, kann ich doch erstmal sagen dass mit
> dem Haupsatz jedes Polynom über [mm]\IC[/mm] in Linearfaktoren
> zerfällt und somit auch mindestens eine Nullstelle in [mm]\IC[/mm]
> haben muss.

O.K.

> Aber wie kann ich das höchstens und auf die
> Körpererweiterun bezogen zeigen?

Das verstehe ich nicht.

>  
> Vielen Dank für Eure Anregungen und Hilfen

Tip: sind [mm] $\alpha$, $\beta$ [/mm] Nullstellen eines über $K$ irreduziblen Polynoms, so gibt es einen $K$-Isomorphismus, der [mm] $\alpha$ [/mm] auf [mm] $\beta$ [/mm] abbildet; beachte a)

Bezug
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