invertierbare Matritzen über K < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein endlicher Körper mit K Elementen und n [mm] \in \IN.
[/mm]
Wie viele invertierbare n x n-Matritzen gibt es über K? |
Hallo,
ich bin gerade dabei, diese Aufgabe zu lösen. Also wenn ich eine Matrix hab, weiß ich, wie ich die Inverse Matrix dazu erstelle. Aber bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter. Könnt ihr mir da weiter helfen?
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Sa 25.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei K ein endlicher Körper mit K Elementen und n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Wie viele invertierbare n x n-Matritzen gibt es über K?
> Hallo,
> ich bin gerade dabei, diese Aufgabe zu lösen. Also wenn
> ich eine Matrix hab, weiß ich, wie ich die Inverse Matrix
> dazu erstelle. Aber bei dieser Aufgabe komme ich nicht
> weiter. Könnt ihr mir da weiter helfen?
> Vielen Dank schonmal!
Ein Tipp: sind [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] die Spalten der $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix $A$, so ist $A$ genau dann invertierbar, wenn [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] linear unabhaengig sind.
Versuche die Anzahl solcher $n$-Tupel von Vektoren zu zaehlen.
LG Felix
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Die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten von einer Matrix ist ja der Spaltenrang der Matrix. Der Spaltenrang ist auch gleichzeitig der Rang einer Matrix.
Und den Rang berechnet man, indem man die Matrix auf Stufenform bringt und die Zahlen auf der Diagonalen addiert.
Bei einem Körper K mit k Elementen ist dann die Maximale Anzahl das größte Element von K * n.
Stimmt das? Oder was ist an der Überlegung falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 So 26.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten von einer
> Matrix ist ja der Spaltenrang der Matrix. Der Spaltenrang
> ist auch gleichzeitig der Rang einer Matrix.
> Und den Rang berechnet man, indem man die Matrix auf
> Stufenform bringt und die Zahlen auf der Diagonalen
> addiert.
O.K. hat aber nichts mit felix' Tip zu tun, der ja besagte, dass Du die Anzahl der Tupel von $n$ linear unabhaengigen Vektoren zaehlen sollst.
Eine Moeglichkeit etwas durchzuzaehlen, ist dieses etwas zu konstruieren, wobei man aber immer sicher gehen muss, dass die Konstruktionsmethode keinen Teil ausgelaesst. Also versuchen wir Tupel [mm] $(v_{1},\ldots, v_{n})$ [/mm] von Vektoren zu konstruieren, die linear unabhaengig sein sollen. [mm] $v_{1}$ [/mm] darf alles sein ausser $0$. Damit haben wir fuer [mm] $v_{1}$ [/mm] wieviele Moeglichkeiten?
Fuer [mm] $v_{2}$: [/mm] Wieviele zu [mm] $v_{1}$ [/mm] linear abhaengige Vektoren gibt es und demnach wieviele linear unabhaengige?
Versuche in diesem Stile weiter zu machen.
> Bei einem Körper K mit k Elementen ist dann die Maximale
> Anzahl das größte Element von K * n.
Verstehe ich nicht.
>
> Stimmt das? Oder was ist an der Überlegung falsch?
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Okay wenn ich so vorgehe, habe ich für [mm] v_{1} [/mm] = [mm] k^{n-1} [/mm] Möglichkeiten. n-1 deshalb, da der Nullvektor nicht enthalten sein darf. Oder sind es [mm] k^{n}-1 [/mm] Möglichkeiten?
Und ich weiß, wie ich die Abhängigkeit von 2 Vektoren berechne, wenn ich die beiden habe. Aber ich weiß leider nicht, wie ich die Anzahl abhängiger Vektoren berechne...
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Hallo,
K ist ein endlicher Körper mit k Elementen, und wir suchen gerade die Anzahl der Basen von [mm] K^n.
[/mm]
Wir wissen: jede Basis besteht aus n Elementen,
und wir wollen nun herausfinden, wieviele Möglichkeiten es für die Wahl einer Basis des [mm] K^n [/mm] gibt.
> Okay wenn ich so vorgehe, habe ich für [mm]v_{1}[/mm] = [mm]k^{n-1}[/mm]
> Möglichkeiten. n-1 deshalb, da der Nullvektor nicht
> enthalten sein darf. Oder sind es [mm]k^{n}-1[/mm] Möglichkeiten?
Diese Frage beantwortest Du Dir am besten selbst.
Wieviele Vektoren enthält der [mm] K^n?
[/mm]
Welche Vektoren kannst Du nicht als ersten Basisvektor verwenden?
Wieviele Vektoren kommen also als erster Basisvektor infrage?
Nun ist zu überlegen, wieviele Möglichkeiten es für den zweiten gibt.
[mm] v_2 [/mm] und [mm] v_1 [/mm] müssen linear unabhängig sein.
> Und ich weiß, wie ich die Abhängigkeit von 2 Vektoren
> berechne, wenn ich die beiden habe. Aber ich weiß leider
> nicht, wie ich die Anzahl abhängiger Vektoren berechne...
Wenn Du [mm] v_1 [/mm] hast, wie "produzierst" Du dann Vektoren, die mit [mm] v_1 [/mm] linear abhängig sind?
Wieviele solcher Vektoren kannst Du herstellen?
LG Angela
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