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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 So 12.01.2014 | | Autor: | MrTob |
| Aufgabe | Bestimmten Sie die inverse Z-Transformation von:
[mm] H(z)=\bruch{1+4*z^{-1}+6*z^{-2}-z^{-3}}{1+4*z^{-1}+5*z^{-2}+2*z^{-3}} [/mm] |
Hallo Leute,
ich hab mal ne Frage, weil ich mir nicht sicher bin und grad ein bisschen verwirrt. Hab zunächst den bruch mit [mm] z^{3} [/mm] erweitert [mm] H(z)=\bruch{z^{3}+4*z^{2}+6*z-1}{z^{3}+4*z^{2}+5*z+2} [/mm]
und dann partialbruch zerlegt in [mm] H(z)=\bruch{3}{z+2}+\bruch{1}{z+1}-\bruch{3}{(z+1)^{2}} [/mm] . Jetzt meine Frage: Gibt es eine einfache Rücktransformation (Korrespondenz) für H(z)? Alle Korrespondenzen die bei mir im Skript stehen haben ein z im Zähler. Allerdings hab ich was (mir schleierhaftes) gefunden mit [mm] \bruch{A_{i}}{z-\alpha_{i}} \mapsto A_{i}*\alpha_{i}^{k-1} [/mm] (wobei [mm] \mapsto [/mm] die Rücktransfomation bedeuten soll und sich die Formal auf einen Partialbruch bezieht) . Wäre meine Lösung dann [mm] -3*2^{k-1}-1^{k-1}+3*(k-1)*1^{k-1} [/mm] ? Wäre echt nett wenn ihr mir helfen könntet! Danke schonmal
Editiert:
Ich habe nochmal einen Anlauf versucht. Die Korrespondenz [mm] a^{k}*\partial(k) \to \bruch{z}{z-a} [/mm] wäre doch in meinem Fall anwendbar für [mm] z^{-1}*H(z) [/mm] oder? ( wobei [mm] \partial(k) [/mm] die Haevisidefunktion sein soll) Dann wär h(k) ohne Verschiebung= [mm] 3*(-2)^{k}*\partial(k)+1*(-1)^{k}*\partial(k)+3*(-1)^{k}*k*\partial(k). [/mm]
Und mit der Verschiebung [mm] z^{-1} [/mm] [mm] h(k)=3*(-2)^{k-1}*\partial(k-1)+1*(-1)^{k-1}*\partial(k-1)+3*(-1)^{k-1}*(k-1)*\partial(k-1) [/mm] , oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmten Sie die inverse Z-Transformation von:
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> [mm]H(z)=\bruch{1+4*z^{-1}+6*z^{-2}-z^{-3}}{1+4*z^{-1}+5*z^{-2}+2*z^{-3}}[/mm]
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> Hallo Leute,
> ich hab mal ne Frage, weil ich mir nicht sicher bin und
> grad ein bisschen verwirrt. Hab zunächst den bruch mit
> [mm]z^{3}[/mm] erweitert
> [mm]H(z)=\bruch{z^{3}+4*z^{2}+6*z-1}{z^{3}+4*z^{2}+5*z+2}[/mm]
> und dann partialbruch zerlegt in
> [mm]H(z)=\bruch{3}{z+2}+\bruch{1}{z+1}-\bruch{3}{(z+1)^{2}}[/mm] .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich habe es nicht nachgerechnet. Es sieht aber gut aus.
> Jetzt meine Frage: Gibt es eine einfache
> Rücktransformation (Korrespondenz) für H(z)?
Nein. Die gibt es nicht.
> Korrespondenzen die bei mir im Skript stehen haben ein z im
> Zähler. Allerdings hab ich was (mir schleierhaftes)
Neben den Korrespondenzen der z-Transformation, gilt es auch immer die Sätze der z-Transformation zu beachten.
In deinem Fall wäre dies der sogenannte Verschiebungssatz.
Nehmen wir einmal den ersten Term aus H(z):
[mm]\frac{3}{z+2}[/mm]
Dies kann man auch so schreiben:
[mm]\frac{1}{z}\cdot\frac{3\cdot z}{z+2}[/mm]
Nun den Verschiebungssatz anwenden:
[mm]z^{-\gamma}X(z)[/mm] im z-Bereich wird zu [mm]x[k-\gamma][/mm][mm]
[/mm]
im diskreten Bereich.
Daraus folgt für dich:
[mm]\frac{3}{z+2}=\frac{1}{z}\cdot\frac{3\cdot z}{z+2}
[/mm] im z-Beriech wird zu
[mm]x[k-\gamma]=(-2)^{k-1}\cdot \epsilon[k-1][/mm]
im diskreten Bereich.
Wobei der Konvergenzbereich: $|z|>|-2|=2$ ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 So 12.01.2014 | | Autor: | MrTob |
Vielen Dank Valerie! Bin zufällig grad auf die gleiche Idee gekommen. :)
Könntest du kurz nochmal über meine Lösung schauen (hab ich in die Frage geschrieben). Müsste doch dann so stimmen oder? Vielen Dank nochmal!
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Hallo MrTob,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Vielen Dank Valerie! Bin zufällig grad auf die gleiche
> Idee gekommen. :)
> Könntest du kurz nochmal über meine Lösung schauen (hab
> ich in die Frage geschrieben). Müsste doch dann so stimmen
> oder? Vielen Dank nochmal!
Die Partialbruchzerlegung von H(z) stimmt nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Mo 13.01.2014 | | Autor: | MrTob |
Aah, danke! Hab nicht beachtet, dass Zählergrad > Nennergrad :)
Neuer Versuch:
Nach Polynomdivision hab ich [mm] 1+\bruch{z-3}{z^{3}+4*z^{2}+5*z+2} [/mm] .
Das partialbruch zerlegt ergibt [mm] 1+\bruch{7}{z+2}-\bruch{3}{z+1}-\bruch{4}{(z+1)^2}. [/mm] Jetzt müsste die Rücktransformation lauten:
[mm] h(k)=\delta(k-1)+7*(-2)^{k-1}*\partial(k-1)-3*(-1)^{k-1}*\partial(k-1)-3*(-1)^{k-1}*\partial(k-1)+4*(-1)^{k-1}*(k-1)*\partial(k-1) [/mm] ? (mit [mm] \partial [/mm] = Heavisidefunktion)
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> Aah, danke! Hab nicht beachtet, dass Zählergrad >
> Nennergrad :)
> Neuer Versuch:
> Nach Polynomdivision hab ich
> [mm]1+\bruch{z-3}{z^{3}+4*z^{2}+5*z+2}[/mm] .
> Das partialbruch zerlegt ergibt
> [mm]1+\bruch{7}{z+2}-\bruch{3}{z+1}-\bruch{4}{(z+1)^2}.[/mm] Jetzt
> müsste die Rücktransformation lauten:
>
> [mm]h(k)=\delta(k-1)+7*(-2)^{k-1}*\partial(k-1)-3*(-1)^{k-1}*\partial(k-1)-3*(-1)^{k-1}*\partial(k-1)+4*(-1)^{k-1}*(k-1)*\partial(k-1)[/mm]
> ? (mit [mm]\partial[/mm] = Heavisidefunktion)
Ich habe die Partialbruchzerlegung widerum nicht geprüft. Du kannst das allerdings auch selbst ganz leicht in Wolframalpha machen.
Wir gehen jetzt einfach mal davon aus, dass du richtig gerechnet hast.
Für diesen Fall wäre deine diskrte Funktion falsch.
Die "1" im z-Bereich wird zur !nicht! verschobenen Delta Funktion im diskreten Bereich.
Der Term: [mm] $3(-1)^{k-1}\partial [/mm] (k-1)$ sollte nur einmal im Ergebnis auftauchen.
Ausßerdem fehlt die zwingende Angabe des Konvergenzbereichs.
Der Rest ist in Ordnung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Mo 13.01.2014 | | Autor: | MrTob |
Dankeschön, ja habe mich verschrieben und den Term doppelt gepostet.
Klar, 1 [mm] \mapsto \delta(k) [/mm] ist ja eine andere Korrespondenz und wird somit nicht verschoben. Ich bin ein Idiot^^
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