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inverse des neutralen elements: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Do 10.01.2013
Autor: zjay

Aufgabe
Die Frage ist unten gestellt. Es handelt sich um einen Beweis.



Satz 8.3: Ist f:G [mm] \rightarrow [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus mit [mm] e_{G} [/mm] neutrales Element von G und [mm] e_{H} [/mm] neutrales Element von H, so gilt:

[mm] f(e_{G} )=e_{H} [/mm]

Soweit so gut. Den Satz hab ich inzwischen verinnerlicht. Mein Problem liegt beim nächsten Satz:

Satz 8.4: Es sei f:G [mm] \rightarrow [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

(i) Ker f ist Untergruppe von G
(ii) Bild f ist Untergruppe von H
(iii) f ist genau dann injektiv, wenn Ker f = [mm] {e_{G} } [/mm]

Der Beweis von (i) sieht so aus:

Es müssen die Untergruppenbedingungen für Kern f bewiesen werden. f ist keine leere Menge, da [mm] e_{G} \in [/mm] Ker f laut Satz 8.3. Anstatt zu beweisen, dass a*b und [mm] a^{-1} \in [/mm] Ker f liegen, kann laut einer Bemerkung im Skript [mm] ab^{-1} \in [/mm] Ker f bewiesen werden.

Existieren a und b [mm] \in [/mm] Ker f, so muss die Existenz vo [mm] ab^{-1} [/mm] bewiesen werden. [mm] f(ab^{-1})=f(a)f(b^{-1})=e_{H}e_{H}^{-1}=e_{H} [/mm]

Der letzte Schritt verschließt sich mir. Ist es irgedwo definiert, dass das Inverse von dem neutralen Element von H [mm] (e_{H})^{-1} [/mm] mit dem neutralen Element multipliziert wieder das neutrale Element ergibt?

Wenn ich jetzt Beispiele aus den reellen Zahlen nehme, z.b. das neutrale Element der Multiplikation, so gilt diese Regelung auch, da [mm] 1*1^{-1}=1 [/mm] ist.

Das muss grundsätzlich gelten, oder?? Ansonsten müsse [mm] e_{H}*e_{H}^{-1}= e_{H}^{-1} [/mm] ergeben, denn das inverse Element vom neutralen Element ist ja eigentilch nicht mehr das neutrale Element, oder doch?

Ich bitte um Klärung des Sachverhalts.

mfg,

zjay

        
Bezug
inverse des neutralen elements: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Do 10.01.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Da nur mit dem Smartphone on, ist die Antwort nur kurz gehalten:

Doch, das Inverse des neutralen Elements ist immer das neutrale Element selbst. Schau dir doch mal an, wie das neutrale Element definiert ist: Zu g heißt h neutrales Element, wenn $gh=e$ gilt. Ist g=e ergibt sich eh=h=e. Also ist h=e das Inverse zu e :)

MfG,
Gono

Bezug
                
Bezug
inverse des neutralen elements: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Do 10.01.2013
Autor: zjay

ich finde dein beispiel zwar ein wenig verwirrend - was soll e sein? auch ein neutrales element so wie h? - aber danke für die antwort. ich habs mir schon gedacht, wusste aber nur noch nicht wieso das inverse des neutralen = das neutrale element ist.



Bezug
                        
Bezug
inverse des neutralen elements: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 Do 10.01.2013
Autor: Marcel

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo,

> ich finde dein beispiel zwar ein wenig verwirrend - was
> soll e sein? auch ein neutrales element so wie h?

er schreibt doch nur $e_H=e\,.$ Ansonsten ist $g\,$ irgendein Element von
$H\,,$, und $h\,$ EIN zu $g\,$ inverses Element aus $H\,.$ Glücklicherweise
sind inverse Elemente aber eindeutig, also ist $h\,$ sogar "das zu $g\,$ inverse
Element". Und man notiert dann auch $g^{-1}:=h\,.$

> - aber
> danke für die antwort. ich habs mir schon gedacht, wusste
> aber nur noch nicht wieso das inverse des neutralen = das
> neutrale element ist.

Das braucht man hier doch gar nicht zu wissen.

Fassen wir das mal nochmal kurz zusammen:
$(G,\cdot)$ heißt Gruppe, wenn
1.) $a*(b*c)=(a*b)\cdot c$ für alle $a,b,c \in G\,.$
2.) Es existiert ein $e_G^{(\ell)} \in G$ so, dass $e_G^{(\ell)}*g=g$ für alle $g \in G\,.$
3.) Für jedes $g \in G$ existiert ein $h^{(\ell)} \in G$ mit $h^{(\ell)}*g=e_G^{(\ell)}\,.$

Man kann nun zeigen, dass es dann nur ein linksneutrales Element (damit
ist solch ein $e_G^{(\ell)}$ wie in 2.) gemeint - das hochgestellte ${(\ell)}$ soll generell
an "$\ell$inks" erinnern) geben kann. Ferner kann man zeigen, dass auch
linksinverse Elemente (das $h^{(\ell)}\,$ aus 3.) ist ein linksinverses
Element zu $g\,$) eindeutig bestimmt sind. (Kennst Du die Beweise? Weißt
Du, wo Du sie findest bzw. bekommst Du das alleine bewiesen?)

Weiterhin kann man zeigen, dass das Linksneutrale Element auch
rechtsneutral sein muss, und das Linksinverse auch Rechtsinverse sein
müssen. (Die gleichen Fragen wie eben: Kennst Du die Beweise? Weißt
Du, wo Du sie findest bzw. bekommst Du das alleine bewiesen?)

Man kommt somit zunächst zu einer Charakterisierung einer
Gruppe, also in äquivalenter Weise zu oben kann man sagen:

$(G,\cdot)$ heißt Gruppe, wenn
1'.) $a*(b*c)=(a*b)\cdot c$ für alle $a,b,c \in G\,.$
2'.) Es existiert ein $e_G \in G$ so, dass $e_G*g=g*e_G=g$ für alle $g \in G\,.$
3'.) Für jedes $g \in G$ existiert ein $h \in G$ mit $h*g=g*h=e_G\,.$

In dieser Formulierung ist die obenstehende Eindeutigkeit noch nicht
enthalten - man kann es sich aber mit allem nun bekannten auch
überlegen, dass ein solches neutrales Element (ein Element wie in 2'.),
das also die Rolle von $e_G$ spielt, heißt neutrales Element - anders
gesagt: neutral=(linksneutral und rechtsneutral)) eindeutig bestimmt sein
muss; ebenso muss ein solches zu $g \in G$ inverses Element, also ein
Element, dass die Rolle von $h$ aus $3'.)$ spielt, eindeutig bestimmt sein.

Damit kommen wir nun zu einer Fassung der Gruppenaxiome, wie man sie
sich am besten behält:
$(G,\cdot)$ heißt Gruppe, wenn
1''.) $a*(b*c)=(a*b)\cdot c$ für alle $a,b,c \in G\,.$
2''.) Es existiert genau ein $e_G \in G$ so, dass $e_G*g=g*e_G=g$ für alle $g \in G\,.$
3''.) Für jedes $g \in G$ existiert genau ein $h \in G$ mit $h*g=g*h=e_G\,$ - und wir
schreiben dann auch $g^{-1}:=h\,.$

(Nur mal kurz: Formulierungsmäßig sind 1.), 2.) und 3.) die Axiome für eine
Gruppe, bei denen man am wenigsten verlangt. (Schwaches
Axiomensystem!) In der Formulierung 1''.), 2''.) und 3''.) fordert man ja
wesentlich mehr. Aber die Punkte, bei denen man mehr zu fordern scheint
(das dem nicht wirklich so ist, ist ja einfach
deshalb so, weil diese Definitionen einander äquivalent sind - etwas
genauer:

    ( 1.) und 2.) und 3.) ) $\iff$ ( 1'.) und 2'.) und 3'.) ) $\iff$( 1''.) und 2''.) und 3''.) )
)


liefern einem auch direkt inhaltlich mehr Handwerkzeug.

Von daher würde ich sagen: Schau' Dir das vielleicht alles nochmal an.
Denn so wäre zum Beispiel direkt klar - bei Dir ist ja die Gruppe $H\,$ und
das neutrale Element in $H\,$ heißt $e_H\,:$

Es gilt
$${e_H}^{-1}*e_H=e_H*{e_H}^{-1}=e_H\,,$$
denn das ist sogar schon klar wegen 2'.) - und mit 2''.) ist dann aus dieser
Gleichheit auch die Aussage $({{e_H}^{-1}})^{-1}=e_H$ klar - ebenso
folgt aus ${e_H}^{-1}*e_H=e_H$ und $${e_H}*e_H=e_H$ sofort ${e_H}^{-1}=e_H\,$.

Übrigens, wo das ganze ganz gut erklärt wird, wie ich finde, sofern man
halt das Buch sorgfältig durcharbeitet, ist in dem Buch "Algebra" von
Meyberg und Karpfinger. Vielleicht kannst Du es Dir ja mal in der Bib
angucken oder es ausleihen:

Dort wird eine Gruppe übrigens mit 1'.) und 2'.) und 3'.) definiert, und dann
zeigt man, dass

    ( 1'.) und 2'.) und 3'.) ) $\Leftarrow$( 1.) und 2.) und 3.) )

gilt ("$\Rightarrow$" ist ja klar).

Der Beweis ist einfach: Ist $a \in G$ so, dass $b\,$ linksinvers ist, so gilt
$b*a=e_G^{(\ell)}\,.$ Aber $b\,$ hat auch ein linksinverses Element, es
heiße $c\,,$ d.h. es gilt $c*b=e_G^{(\ell)}\,.$

Es folgt $a*b=e_G^{(\ell)}*(a*b)=(c*b)*(a*b)=c*(b*(a*b))=c*((b*a)*b)=c*(e_G^{(\ell)*b)=c*b=e_G^{(\ell)\,,$ also gilt:
(I) Für alle $a \in G$ gilt: Ist $b\,$ linksinvers zu $a\,$ (d.h. $b*a=e_G^{(\ell)$), so folgt auch $a*b=e_G^{(\ell)\,.$

Daraus folgt auch, dass für alle $a \in G$ gilt, wenn $b\,$ linksinvers zu $a\,$ ist:

    (II) $a*e_G^{(\ell)}=a*(b*a)=(a*b)*a=e_G^{(\ell)}*a=a\,.$

Also erfüllen linksneutrale Elemente, definiert gemäß 2.), die Eigenschaften,
die neutrale Elemente erfüllen sollen (siehe 2'.)), und analoges gilt für
"(links)inverse Elemente".

Zeigt man nun, dass das neutrale Element und die inversen Elemente
eindeutig bestimmt sind, so erhält man das "ganz starke Axiomensystem"
einer Gruppe, bestehend aus 1''.) und 2''.) und 3''.).

Nebenbei: Das Linksinverse eindeutig bestimmt sind, kann man sich auch
schnell überlegen:
Für $g \in G$ seien $h$ und $h_1$ mit $h*g=h_1*g=e_G^{(\ell)\,.$ Dann
gilt ja mit den obigen Überlegungen (I) und (II):
$$h=h*e_G^{(\ell)}=h*(g*h_1)=(h*g)*h_1=e_G^{(\ell)}*h_1=h_1\,.$$

Nunja, wie gesagt: Schau' Dir einfach mal Eure Definition an, wie ihr
Gruppen definiert habt, und welche Aussagen Euch bzgl. Gruppen dann
bereits bekannt sind. Vielleicht habt ihr das oben noch nicht alles
durchgenommen, aber ihr habt sicher Sätze, die die Eindeutigkeit des
linksinversen Elementes sichern etc. pp..

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
inverse des neutralen elements: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Fr 11.01.2013
Autor: zjay

Deinen Ausführunge zu folgen, war teilweise ein wenig schwierig, da ich bisher weder den Begriff linksneutral noch rechtsneutral kennengelernt habe.

Meine bekannte Definition einer Gruppe ähnelt deiner 3. Definition am meisten:

Eine Halbgruppe (G,*) heißt Gruppe genau dann, wenn sie (zusätzlich zur Assoziativität) noch folgende Axiomen erfüllt:

(i) Existenz des neutralen Elements: es existiert ein e [mm] \in [/mm] G mit a*e=a für alle a [mm] \in [/mm] G
(ii) Existenz des inversen Elements: zu jedem a [mm] \in [/mm] G existiert ein [mm] a^{-1} \in [/mm] G mit [mm] a*a^{-1}=e. [/mm]

Am besten ist mir deine Aussage, dass [mm] e_{H}*e_{H}^{-1}=e_{H}^{-1}*e_{H}=e_{H} [/mm] aus 2' folgt, hängengeblieben. So klar wie es dir war, ist es mir leider nicht.

Ich denke aber, dass [mm] e_{H}*e_{H}^{-1}=e_{H}^{-1}*e_{H}=e_{H} [/mm] aus Satz 8.1 b) folgen müsste, wenn man einfach [mm] a=e_{H} [/mm] setzt. Für mein Verständnis bedeutet dies, dass ich die Tatsache, dass [mm] e_{H} [/mm] neutrales Element von H ist, ignoriere und [mm] e_{H} [/mm] wie jedes andere Element aus H auch behandle.

S 8.1: Ist G eine Gruppe, so gilt:
a) Das neutrale Element e [mm] \in [/mm] G ist eindeutig bestimmt und hat auch die Eigentschaft e*a=a f+r alle a [mm] \in [/mm] G
b) Das inverse Element a' zu einem Element a [mm] \in [/mm] G ist eindeutig bestimmt und hat auch die Eigenschaft a'*a=e. Wir bezeichnen es mit [mm] a^{-1} [/mm]
[mm] c)(a^{-1})^{-1}=a [/mm] für alle a [mm] \in [/mm] G
d) [mm] (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1} [/mm] für alle a,b [mm] \in [/mm] G
e) Es gelten die Kürzungsregeln a*x=a*x' [mm] \rightarrow [/mm] x=x' und y*a=y'*a [mm] \rightarrow [/mm] y=y'

Ps: da du von  [mm] e_{H}*e_{H}^{-1}=e_{H}^{-1}*e_{H} [/mm] sprichst, heißt das doch, dass du von einer abelschen Gruppe (G ist kommutativ) ausgehst, oder?

mfg,

zjay

Bezug
                                        
Bezug
inverse des neutralen elements: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Fr 11.01.2013
Autor: Marcel

Hallo zjay,

> Deinen Ausführunge zu folgen, war teilweise ein wenig
> schwierig, da ich bisher weder den Begriff linksneutral
> noch rechtsneutral kennengelernt habe.

okay: [mm] $e_G^{(\ell)}$ [/mm] heißt linksneutral, wenn [mm] $e_G^{(\ell)}*a=a$ [/mm] für alle
$a [mm] \in G\,.$ [/mm] (Kurz: Wenn ich ein linksneutrales von links an irgendein
Element heranmultipliziere, so ändert sich das Element nicht. Daraus folgt
aber noch nicht direkt, dass auch [mm] $a*e_G^{(\ell)}=a\,$ [/mm] stets gilt.)
Was rechtsneutral heißt, sollte Dir nun klar sein, oder?
  

> Meine bekannte Definition einer Gruppe ähnelt deiner 3.
> Definition am meisten:
>  
> Eine Halbgruppe (G,*) heißt Gruppe genau dann, wenn sie
> (zusätzlich zur Assoziativität) noch folgende Axiomen
> erfüllt:
>  
> (i) Existenz des neutralen Elements: es existiert ein e [mm]\in[/mm]
> G mit a*e=a für alle a [mm]\in[/mm] G
>  (ii) Existenz des inversen Elements: zu jedem a [mm]\in[/mm] G
> existiert ein [mm]a^{-1} \in[/mm] G mit [mm]a*a^{-1}=e.[/mm]

Die ähnelt meiner ersten Definition (also (1.) und 2.) und 3.) )) am meisten:
Dieses [mm] $e=e_G^{(r)}$ [/mm] (so würde ich das nun analog nennen) in (i) ist ein rechtsneutrales Element, und
in (ii) wird die Existenz von rechtsinversen formuliert. In Meyberg/Karpfingers
Algebra wird zum beispiel das auch durchaus erwähnt, dass man auch so
eine Gruppe definieren kann (wenn auch nur in Worten)! Das ähnelt der
erstgenannten Definition deswegen am meisten, weil man einfach nur
"die linke Seite" durch "die rechte Seite" ersetzen muss - hoffentlich wird
Dir das ganze nun ein wenig klarer. Ihr habt also auch ein schwaches
Axiomensystem für eine Gruppe gewählt.

> Am besten ist mir deine Aussage, dass
> [mm]e_{H}*e_{H}^{-1}=e_{H}^{-1}*e_{H}=e_{H}[/mm] aus 2' folgt,
> hängengeblieben. So klar wie es dir war, ist es mir leider
> nicht.
>
> Ich denke aber, dass
> [mm]e_{H}*e_{H}^{-1}=e_{H}^{-1}*e_{H}=e_{H}[/mm] aus Satz 8.1 b)
> folgen müsste, wenn man einfach [mm]a=e_{H}[/mm] setzt. Für mein
> Verständnis bedeutet dies, dass ich die Tatsache, dass
> [mm]e_{H}[/mm] neutrales Element von H ist, ignoriere und [mm]e_{H}[/mm] wie
> jedes andere Element aus H auch behandle.
>  
> S 8.1: Ist G eine Gruppe, so gilt:
>  a) Das neutrale Element e [mm]\in[/mm] G ist eindeutig bestimmt und
> hat auch die Eigentschaft e*a=a f+r alle a [mm]\in[/mm] G

Na, siehst Du: Hier steht nun, dass ein rechtsneutrales Element, bzw., weil
es nur eines gibt: DAS rechtsneutrale Element, auch ein linksneutrales
Element ist - bzw. es ist stets auch DAS LINKSNEUTRALE.
Zusammenfassend macht es daher Sinn, [mm] $e\,$ [/mm] DAS NEUTRALE Element zu
nennen.

> b) Das inverse Element a' zu einem Element a [mm]\in[/mm] G ist
> eindeutig bestimmt und hat auch die Eigenschaft a'*a=e. Wir
> bezeichnen es mit [mm]a^{-1}[/mm]

Auch hier steht das, was ich bereits sagte. Im Prinzip sind die Aussagen
analog zu den zuvor getroffenen Aussagen bzgl. DEM neutralen Element.

>  [mm]c)(a^{-1})^{-1}=a[/mm] für alle a [mm]\in[/mm] G
>  d) [mm](a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}[/mm] für alle a,b [mm]\in[/mm] G
>  e) Es gelten die Kürzungsregeln a*x=a*x' [mm]\rightarrow[/mm] x=x'
> und y*a=y'*a [mm]\rightarrow[/mm] y=y'
>  
> Ps: da du von  [mm]e_{H}*e_{H}^{-1}=e_{H}^{-1}*e_{H}[/mm] sprichst,
> heißt das doch, dass du von einer abelschen Gruppe (G ist
> kommutativ) ausgehst, oder?

Keineswegs.

Ich fasse es nun einfach mal zusammen, ohne Beweise:

Rein per Definitionem gilt erstmal:
Gruppe ist assoziativ, und es gibt gemäß (i) ein rechtsneutrales Element,
und gemäß (ii) gibt es zu jedem Element der Gruppe ein rechtsinverses
Element - rechtsinvers heißt, dass wenn ich an ein Element der Gruppe
das rechtsinverse von rechts dranmultipliziere, dann kommt das
rechtsneutrale raus.

Also bisher weißt Du (die Assoziativ stets zu erwähnen spar ich mir):
Für alle $a [mm] \in [/mm] G$ existiert (mind.) ein [mm] $a^{-1} \in [/mm] G$ so, dass
[mm] $$a*a^{-1}=e\,.$$ [/mm]
Zudem:
[mm] $$a*e=a\,$$ [/mm]
für alle $a [mm] \in G\,.$ [/mm]

Aus Satz 8.1 folgt ja, dass zu $a [mm] \in [/mm] G$ genau ein solches [mm] $a^{-1} \in [/mm] G$
gibt, zudem gibt es auch nur ein solches [mm] $e\,,$ [/mm] und es gelten auch
[mm] $$a^{-1}*a=e$$ [/mm]
und
[mm] $$e*a=a\,$$ [/mm]
für alle $a [mm] \in G\,.$ [/mm]

Zusammenfassend (das folgende gilt FÜR JEDE Gruppe im Sinne Eurer
Definition oder dazu äquivalenten Definitionen):
$$e*a=a*e=a$$
gilt für alle $a [mm] \in G\,,$ [/mm] und es gilt
[mm] $$a^{-1}*a=a*a^{-1}=e\,.$$ [/mm]

Mit [mm] $a=e\,$ [/mm] folgt dann sofort [mm] $e^{-1}*e=e*e^{-1}=e\,.$ [/mm] Wegen
$$e*e=e$$
und auch
[mm] $$e^{-1}*e=e\,$$ [/mm]
folgt doch wegen der Eindeutigkeit des Inversen von [mm] $e\,$ [/mm] dann
[mm] $$e^{-1}=e\,.$$ [/mm]

Ferner gilt übrigens auch für alle $a [mm] \in G\,,$ [/mm] dass
[mm] $${(a^{-1})}^{-1}*a^{-1}=e$$ [/mm]
und aber auch
[mm] $$a*a^{-1}=e\,.$$ [/mm]

Ich frage Dich nun: Was folgt dann für [mm] ${(a^{-1})}^{-1}$ [/mm] - oder anders
gefragt: Was ist das Inverse "des Inversen von [mm] $a\,$"? [/mm]

P.S. Die Regeln
[mm] $$a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$$ [/mm]
und
[mm] $$e^{-1}*e=e*e^{-1}=e$$ [/mm]
gelten in jeder Gruppe - ebenso wie [mm] ${(a^{-1})}^{-1}=a\,.$ [/mm] Nur:
In einer abelschen Gruppe sind die Beweise einfacher, weil man in
abelschen Gruppen dafür einfach die Kommutativität benutzen kann (man
kann die Beweise dennoch genauso kompliziert machen, wie in
allgemeinen, nicht notwendig ableschen - Gruppen).

P.P.S. Und NEIN: Nicht jede Gruppe ist kommutativ, denn dann müßte ja
[mm] $a*b=b*a\,$ [/mm] für alle $a,b [mm] \in [/mm] G$ gelten. Wir haben oben aber nur gesehen,
dass in einer beliebigen Gruppe das nur für etwa [mm] $a=b=e\,$ [/mm] und [mm] $b=a^{-1}$ [/mm] gilt.
Damit erreicht man sicher noch lange nicht alle Paare $(a,b) [mm] \in [/mm] G [mm] \times G\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
inverse des neutralen elements: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 Fr 11.01.2013
Autor: zjay

deine frage, was [mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] ist, hast du zum schluss ja schon selber beantwortet.

danke, jetzt ist mir alles klar.

mfg,

zjay

Bezug
                                                        
Bezug
inverse des neutralen elements: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Fr 11.01.2013
Autor: Marcel

Hallo zjay,

> deine frage, was [mm](a^{-1})^{-1}[/mm] ist, hast du zum schluss ja
> schon selber beantwortet.

gut erkannt.
  

> danke, jetzt ist mir alles klar.

Schön zu hören. :-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
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