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| Aufgabe | Sei B eine Basis von [mm] \IR^{2} [/mm] und A [mm] \in End_{\IR}(\IR^{2}) [/mm] mit
[mm] _{B}A_{B} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 2 } [/mm] .
Bestimmen Sie alle A-invarianten Unterräume von [mm] \IR^{2}. [/mm] |
Hey!
Ich weiß nicht recht, wie ich hier vorgehen soll.
Ich denke 2 A-invariante Unterräume sind {0} und [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Aber wie komme ich auf andere?
Brauche ich dafür die EW? Aber da bekommt man ja keine raus..
Also was soll ich tun?
Grüße und danke schonmal für Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Do 24.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei B eine Basis von [mm]\IR^{2}[/mm] und A [mm]\in End_{\IR}(\IR^{2})[/mm]
> mit
> [mm]_{B}A_{B}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 2 }[/mm] .
> Bestimmen Sie alle A-invarianten Unterräume von [mm]\IR^{2}.[/mm]
> Hey!
> Ich weiß nicht recht, wie ich hier vorgehen soll.
> Ich denke 2 A-invariante Unterräume sind {0} und [mm]\IR^{2}.[/mm]
Richtig.
> Aber wie komme ich auf andere?
>
> Brauche ich dafür die EW? Aber da bekommt man ja keine
> raus..
Jeder eindimensionale, A-invariante Unterraum ist ein Eigenraum zu einem von null verschiedenem Eigenwert (warum?).
Wenn es keine von Null verschiedene Eigenwerte gibt, gibt es also keine weiteren A-invarianten Unterräume.
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Hallo Pelzig,
ich darf die Aufgabe auch lösen. Ich versteh sie nur nicht so ganz...
Ich finde als Eigenwerte für [mm] $_{B}A_B$ [/mm] nur komplexe Eigenwerte, nämlich [mm] $x_1 [/mm] = 3/2 + [mm] \sqrt{7}/2 [/mm] i$ und
[mm] $x_2 [/mm] 3/2 - [mm] \sqrt{7}/2 [/mm] i $.
Was heißst das nun für mögliche "invariante Unterräume" ? Die Eigenwerte sind ja komplex, und nicht in [mm] IR^2...
[/mm]
Grüße und dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Di 29.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich finde als Eigenwerte für [mm]_{B}A_B[/mm] nur komplexe
> Eigenwerte, nämlich [mm]x_1 = 3/2 + \sqrt{7}/2 i[/mm] und
> [mm]x_2 3/2 - \sqrt{7}/2 i [/mm].
Die Eigenwerte sind aber per Definition Elemente des Körpers des Vektorraums, also aus [mm] $\IR$ [/mm] in deinem Fall.
> Was heißst das nun für mögliche "invariante Unterräume" ?
D.h. es gibt einfach keine weiteren.
Gruß, Robert
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