inv. vektoriteration < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Sa 11.07.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute habe ein kleine verständnisproblem.
sei A eine Matrix, x ein vaktor und [mm] \lambda [/mm] der gesuchte EW, also [mm] Ax=\lambda*x [/mm] wobei [mm] \lambda [/mm] gesucht.
dann ist [mm] Ax=\lambda*x \gdw \bruch1{\lambda-\alpha}x=(A-\alpha*I)^{-1}x
[/mm]
wobei [mm] \alpha [/mm] eine geschätzte näherung für [mm] \lambda [/mm] ist (und auch näher an [mm] \lambda [/mm] liegt als an jedem anderen EW von A).
dann ist [mm] \bruch1{\lambda-\alpha} [/mm] offensichtlich der größte EW von [mm] (A-\alpha*I)^{-1} [/mm] (da [mm] \alpha [/mm] eine näherung für [mm] \lambda). [/mm] soweit verstehe ich es noch.
berechnen tut man dies jedoch mit der gewöhnlich vektoriteration so:
[mm] (A-\alpha*I)x=(\lambda-\alpha)x
[/mm]
was wiederum bedeuten würde man sucht den größten EW von [mm] (A-\alpha*I), [/mm] aber das wäre dann ja sicher nicht [mm] (\lambda-\alpha) [/mm] oder nicht?
|
|
| |
|
> hey leute habe ein kleine verständnisproblem.
>
> sei A eine Matrix, x ein vaktor und [mm]\lambda[/mm] der gesuchte
> EW, also [mm]Ax=\lambda*x[/mm] wobei [mm]\lambda[/mm] gesucht.
>
> dann ist [mm]Ax=\lambda*x \gdw \bruch1{\lambda-\alpha}x=(A-\alpha*I)^{-1}x[/mm]
>
> wobei [mm]\alpha[/mm] eine geschätzte näherung für [mm]\lambda[/mm] ist
> (und auch näher an [mm]\lambda[/mm] liegt als an jedem anderen EW
> von A).
>
> dann ist [mm]\bruch1{\lambda-\alpha}[/mm] offensichtlich der
> größte EW von [mm](A-\alpha*I)^{-1}[/mm] (da [mm]\alpha[/mm] eine näherung
> für [mm]\lambda).[/mm] soweit verstehe ich es noch.
>
> berechnen tut man dies jedoch mit der gewöhnlich
> vektoriteration so:
>
> [mm](A-\alpha*I)x=(\lambda-\alpha)x[/mm]
>
> was wiederum bedeuten würde man sucht den größten EW von
> [mm](A-\alpha*I),[/mm] aber das wäre dann ja sicher nicht
> [mm](\lambda-\alpha)[/mm] oder nicht?
>
[mm](A-\alpha*I)\vec{x} = A*\vec{x} - \alpha*I*\vec{x}=\lambda*\vec{x} - \alpha*\vec{x} = \left(\lambda-\alpha\right)*\vec{x} [/mm]
Das ist es doch, oder? Zumindest ist es ein EW, ob es der größte ist, sehe ich aber gerade auf die Schnelle nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Sa 11.07.2009 | | Autor: | AriR |
ja ein EW ist dies auf jeden fall was bei der vektoriteration von [mm] (A-\alpha*I) [/mm] nur halt der größte EW von [mm] (A-\alpha*I) [/mm] und nicht zwigend der konkrete EW [mm] (\lambda-\alpha)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mo 13.07.2009 | | Autor: | alex42 |
Ja, die inverse Vektoriteration ist etwas kompliziert. Wie habt ihr denn die allgemeine Vorschrift für Vektoriterationen angegeben? Ich kenne sie als
[mm] $z^{(k+1)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\parallel Bz^{(k)} \parallel} Bz^{(k)}$,
[/mm]
wobei B die Iterationsmatrix ist, von der man den größten Eigenwert approximiert, bei der inversen Iteration also
$B = (A - [mm] \alpha I)^{-1}$.
[/mm]
Da es aber aufwändig ist, die Inverse zu berechnen, löst man statt dessen das LGS
$(A - [mm] \alpha [/mm] I)y = [mm] \frac{1}{\parallel Bz^{(k)} \parallel} z^{(k)}$.
[/mm]
und setzt dann
[mm] $z^{(k+1)} [/mm] := [mm] \frac{y}{\parallel y \parallel}$.
[/mm]
Es könnte sein, dass ihr die Vorschrift etwas anders benutzt, aber die Idee sollte die selbe sein.
Gruß,
Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mo 13.07.2009 | | Autor: | AriR |
danke schonmal für die hilfe, doch es bleibt weiter ein problem:
wenn ich das LGS
$ (A - [mm] \alpha [/mm] I)y = [mm] \frac{1}{\parallel Bz^{(k)} \parallel} z^{(k)} [/mm] $
berechnen will, dann brauche ich [mm] z^{(k)} [/mm] und das ist doch k-mal die inverse matrix multipliziert mit dem startvektor, also brauche ich trotzdem wieder die inverse um überhaupt das LGS aufstellen zu können oder nicht? :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Di 14.07.2009 | | Autor: | alex42 |
[mm] $z^{(k)}$ [/mm] kennt man schon aus der vorigen Iteration. Man berechnet ja sukzessive mit dem Startvektor [mm] $z^{(0)}$ [/mm] erst [mm] $z^{(1)}$, [/mm] damit dann [mm] $z^{(2)}$, [/mm] damit wiederum [mm] $z^{(3)}$ [/mm] usw. Bei diesem Vorgehen brauchst du die Inverse nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mo 13.07.2009 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \lambda [/mm] - [mm] \alpha$ [/mm] ist der größte Eigenwert von [mm] $A-\alpha [/mm] I$ [mm] \gdw \lambda [/mm] ist der größte Eigenwert von A
FRED
|
|
|
|
