integrieren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | F sei auf B=[0,1]x[0,1] definiert durch
f(x,y)= 1 für y [mm] \in \IQ [/mm] und f(x,y)=2x für y [mm] \not\in \IQ
[/mm]
Berechne [mm] \integral_{B}^{}{f(x,y) d(x,y)} [/mm] |
Hallo,
also löse ich folgendes Integral?
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{1 dx} dy}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{1 dy}
[/mm]
=1
und
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{2x dx} dy}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{1 dy}
[/mm]
=1
Könnt ihr mir sagen, ob das so korrekt ist?
Ich kann doch hier über B integrieren, da ich doch hier über Rechtecke integriere... (wenn danach gefragt werden würde)
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mo 11.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Nee, du musst genau ein Integral Berechnen, nämlich das der Funktion [mm] $$B=[0,1]\times[0,1]\ni(x,y)\mapsto f(x,y):=\begin{cases}1&y\in\IQ\\2x&\text{sonst}\end{cases}$$ [/mm] Wenn ich mich nicht irre dann ist aber die Menge [mm] $M:=\{(x,y)\in B\mid y\in\IQ\}$ [/mm] eine Lebesgue-Nullmenge, d.h. du hast [mm] $$\int_B [/mm] f(x,y)\ [mm] d(x,y)=\int_B [/mm] 2x\ d(x,y).$$ Dass du das jetzt mit Doppelintegralen machen darfst ist der Satz von Fubini usw, da muss man eigentlich schon noch ein bissl mehr zu sagen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> Nee, du musst genau ein Integral Berechnen, nämlich das
> der Funktion [mm]B=[0,1]\times[0,1]\ni(x,y)\mapsto f(x,y):=\begin{cases}1&y\in\IQ\\2x&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
> Wenn ich mich nicht irre dann ist aber die Menge
> [mm]$M:=\{(x,y)\in B\mid y\in\IQ\}$[/mm] eine Lebesgue-Nullmenge,
> d.h. du hast [mm]\int_B f(x,y)\ d(x,y)=\int_B 2x\ d(x,y).[/mm] Dass
> du das jetzt mit Doppelintegralen machen darfst ist der
> Satz von Fubini usw, da muss man eigentlich schon noch ein
> bissl mehr zu sagen.
>
> Gruß, Robert
>
Hallo,
also wenn ich das Integral [mm] \int_B [/mm] f(x,y) [mm] d(x,y)=\int_B [/mm] 2x d(x,y) löse, wie sehen denn dann meine Grenzen aus? 0 und 1?
Grüße
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Hallo Bodo,
> wie sehen denn dann meine Grenzen aus? 0 und 1?
Ja.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also hätte ich doch
[mm] \integral_{0}^{1}{2x dx dy)} =[\frac{2x^2}{2}]_{0}^{1}dy [/mm] = 1dy
aber hier fehlt doch nun mein Integral, oder habe ich hier etwas übersehen?
Grüße
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Hallo nochmal,
da hast Du Recht: da fehlt noch ein Integral.
Du wolltest doch über ein rechteckiges Gebiet integrieren, da ist die Schreibweise mit einem Integral über dem Gebiet B ja nur eine Abkürzung für ein Doppelintegral, so wie Du's schon hattest...
Grüße
reverend
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