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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - integral gaußsche glockenkurve

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integral gaußsche glockenkurve: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	00:27 Fr 01.04.2011
Autor:	jay91

hey!

ich möchte [mm] I:=\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}t^2} dt} [/mm] berechnen.
Dazu berechne ich [mm] I^{2} [/mm]
Also:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}x^2} dx} [/mm] * [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}y^2} dy} [/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}x^2}*e^{-\bruch{1}{2}y^2} dx dy} [/mm] (gilt aufgrund der Linearität des Integrals)
[mm] =\integral_{-\infty}^{\infty} \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}(x^2+y^2)}dx dy} [/mm]

Warum folgt jetzt?
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty} \integral_{0}^{2\pi}{e^{-\bruch{1}{2}r^2}*r dr d \delta} [/mm]

irgendwie durch polarkoordinaten..., ich verstehe die neuen grenzen nicht und am ende [mm] rdrd\delta [/mm] nicht.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

mfg

Bezug

integral gaußsche glockenkurve: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	00:42 Fr 01.04.2011
Autor:	schachuzipus

Hallo jay91 und [willkommenmr]

,

> hey!
>
> ich möchte
> [mm]I:=\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}t^2} dt}[/mm]
> berechnen.
>  Dazu berechne ich [mm]I^{2}[/mm]
>  Also:
>  [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}x^2} dx}[/mm] *
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}y^2} dy}[/mm]
> = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}x^2}*e^{-\bruch{1}{2}y^2} dx dy}[/mm]
> (gilt aufgrund der Linearität des Integrals)
>  [mm]=\integral_{-\infty}^{\infty} \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}(x^2+y^2)}dx dy}[/mm]
>
> Warum folgt jetzt?
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} \integral_{0}^{2\pi}{e^{-\bruch{1}{2}r^2}*r dr d \delta}[/mm]
>
> irgendwie durch polarkoordinaten..., ich verstehe die neuen
> grenzen nicht und am ende [mm]rdrd\delta[/mm] nicht.

Genau! Setze [mm]x=r\cos(\delta), y=r\sin(\delta)[/mm] mit [mm]r>0, \delta\in [0,2\pi)[/mm]

Dann ist [mm]x^2+y^2=...=r^2[/mm]

Das [mm]r[/mm] kommt von der Funktionaldeterminante

Schaue mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Funktionaldeterminante_2

Die brauchst du gem. dem Transformationssatz, siehe hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz

Schaue dir mal das Bsp. unter dem letzteren link an ...

>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> mfg

Gruß

schachuzipus