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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Di 15.08.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Für a>0 sei f: [ 0,2 [mm] \pi] [/mm] -> R² , t-> f(t):= (a cos³(t), a sin³(t)). Ist die durch f(t) gegebene Kurve rektifizierbar?
Man berechne gegebenenfalls ihre Länge. |
HI! Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen, mein anfang müsste stimmen, nur zum schluss bekomm ich null raus und das kann irgendwie nicht sein...?!
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{|f'(t)| dt} [/mm] = 3a [mm] \integral_{0}^{2\pi}{|cos(t) sin(t)| dt} [/mm] = 3/2 a [mm] \integral_{0}^{2\pi}{|sin(2t)| dt} [/mm] = 3/4 a [mm] [|-cos(2t)|_0^{2\pi} [/mm] = 3/4 a [mm] (cos(4\pi) [/mm] - cos(0) ) = 3/4 (1-1) = 0 ???
hab das ganze dann noch versucht aufzuspalten von 0 bis [mm] \pi [/mm] und [mm] \pi [/mm] bis [mm] 2\pi [/mm] damit ich nicht über nullstellen hinwegintegriere, aber das hat auch nichts gebracht...
viele grüße
riley
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Hallo riley,
> Für a>0 sei f: [ 0,2 [mm]\pi][/mm] -> R² , t-> f(t):= (a cos³(t), a
> sin³(t)). Ist die durch f(t) gegebene Kurve
> rektifizierbar?
> Man berechne gegebenenfalls ihre Länge.
> HI! Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen, mein
> anfang müsste stimmen, nur zum schluss bekomm ich null raus
> und das kann irgendwie nicht sein...?!
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{|f'(t)| dt}[/mm] = 3a
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{|cos(t) sin(t)| dt}[/mm] = 3/2 a
ich fürchte, was du hier machst, stimmt nicht so ganz...  $f'(t)$ ist ja ein Vektor und die Bogenlänge einer Kurve ist gerade die Länge dieses Vektors. Also schreibe dir noch mal $f'(t)$ hin und berechne dann die euklidische norm dieses Vektors. Diese musst du dann integrieren, und dabei sollte nicht 0 herauskommen!
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Di 15.08.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias,
hm, hab gedacht dass ich das so gemacht habe... :
f(t) = [mm] \vektor{3a cos³(t) \\ a sin³(t)}
[/mm]
f'(t) = [mm] \vektor{-3a cos²(t) sin(t) \\ 3a cos(t) sin²(t)}
[/mm]
|f'(t)| = ( 9a² [mm] cos^4 [/mm] (t) sin²(t) + 9 a² cos²(t) [mm] sin^4(t) )^{1/2}
[/mm]
= (9a² cos²(t) sin²(t) [mm] )^{1/2} [/mm] = | 3a cos(t) sin(t)|
deshalb komm ich dann auf dieses integral:
3a [mm] \integral_{0}^{2\pi}{|cos(t) sin(t)| dt} [/mm] = ...
um das zu integrieren hab ich das dann nach dem additionstheorem umgeformt:
... = 3/2 a [mm] \integral_{0}^{2\pi}{ sin(2t)| dt} [/mm] = 3/4 a [ |-cos(2t)| [mm] |_0^{2\pi}
[/mm]
s. letzter post... deshalb dacht ich der fehler liegt irgendwo beim integrieren, aber ich weiß nicht wo??
wie das mit dem betrag funktioniert ist mir nicht ganz klar vielleicht liegt es daran??
viele grüße
riley
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Dein Integral stimmt, jedoch nicht deine Stammfunktion. Du darfst den Betrag nicht einfach so "durchziehen". Tip: [mm]\varphi(t) = \left| \sin{(2t)} \right|[/mm] hat die Periode [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]. Du kannst daher so rechnen:
[mm]\int_{0}^{2 \pi}~\ldots \ = \ 4 \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}}~\ldots[/mm]
Und im letzten Integral darfst du die Betragsstriche weglassen, da [mm]\sin{(2t)}[/mm] über dem Intervall positiv ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Di 15.08.2006 | | Autor: | Riley |
vielen dank für deine erklärung! jetzt bekomm ich für die länge 6a raus, das ist wirklich besser als null!! =)
nur wie kann man sich das mit der periode überlegen, also dass [mm] \phi(t) [/mm] = |sin(2t)| die periode [mm] \pi/2 [/mm] hat?
bedeutet der faktor 2, dass die normale sinuskurve um die hälfte "gequetscht" ist ?? und deshalb die erste nullstelle bei [mm] \pi/2 [/mm] hat ?
viele grüße
riley
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Tip: Skizzen zeichnen!
[mm]u(t) = \sin{t}[/mm]
gewöhnliche Sinuskurve mit Periode [mm]2 \pi[/mm]
[mm]v(t) = \sin{(2t)}[/mm]
in [mm]x[/mm]-Richtung mit dem Faktor [mm]\frac{1}{2}[/mm] gestreckt (das sieht man auch daran, daß [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] jetzt die erste positive Nullstelle ist: [mm]v \left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin{\left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right)} = \sin{\pi} = 0[/mm]), neue Periode ist [mm]\pi[/mm]
[mm]w(t) = \left| \sin{(2t)} \right|[/mm]
die Sinusbögen nach oben bleiben, die nach unten werden nach oben gespiegelt; diese Funktion hat die Periode [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Di 15.08.2006 | | Autor: | Riley |
Besten dank für deine erklärung, das hat mir wirklich weitergeholfen!! :)
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