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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | Sei A eine mxn-Matrix über K. Sei [mm] f_A [/mm] : [mm] V_n [/mm] (K) [mm] \to V_m [/mm] (K), v [mm] \mapsto [/mm] Av die zugehörige lineare Abbildung. Welche der folgenden Aussagen sind dazu äquivalent, dass [mm] f_A [/mm] injektiv ist:
a) [mm] f_A [/mm] hat von {0} verschiedenen Rang.
b) der Rang von [mm] f_A [/mm] ist n.
c) jedes GLS mit Koeffmatrix A hat genau eine Lösung.
d) jedes GLS mit Koeffmatrix A hat höchstens eine Lösung.
e) jedes GLS mit Koeffmatrix A hat mindestens eine Lösung. |
Hallo,
also bei dieser Multiple Choice Aufgabe hab ich b) und d) angekreuzt. Ist das richtig? Wie immer dank vorweg :)
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Di 14.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei A eine mxn-Matrix über K. Sei [mm]f_A[/mm] : [mm]V_n[/mm] (K) [mm]\to V_m[/mm]
> (K), v [mm]\mapsto[/mm] Av die zugehörige lineare Abbildung. Welche
> der folgenden Aussagen sind dazu äquivalent, dass [mm]f_A[/mm]
> injektiv ist:
> a) [mm]f_A[/mm] hat von {0} (??)
Du meinst einfach [mm] $0\,$
[/mm]
> verschiedenen Rang.
> b) der Rang von [mm]f_A[/mm] ist n.
> c) jedes GLS mit Koeffmatrix A hat genau eine Lösung.
> d) jedes GLS mit Koeffmatrix A hat höchstens eine
> Lösung.
> e) jedes GLS mit Koeffmatrix A hat mindestens eine
> Lösung.
> Hallo,
> also bei dieser Multiple Choice Aufgabe hab ich b) und d)
> angekreuzt. Ist das richtig? Wie immer dank vorweg :)
das scheint mir beides absolut richtig zu sein. Es ist natürlich noch die Frage, ob Du - zum eigenen Verständnis - diese Äquivalenzen beweisen möchtest und auch - jeweils mit einem Gegenbeispiel - zeigen möchtest, dass die anderen Aussagen hier nicht äquivalent zur Injektivität von [mm] $f\,$ [/mm] sind. (Bei einem Gegenbeispiel für c) sollte dann $m [mm] \not= [/mm] n$, bei einem für e) sicher $m [mm] >\,n$ [/mm] gewählt sein.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | Sei A eine mxn-Matrix über K. Sei : (K) (K), v Av die zugehörige lineare Abbildung. Welche der folgenden Aussagen sind dazu äquivalent, dass injektiv ist:
a) hat von {0} verschiedenen Rang.
b) der Rang von ist n.
c) jedes GLS mit Koeffmatrix A hat genau eine Lösung.
d) jedes GLS mit Koeffmatrix A hat höchstens eine Lösung.
e) jedes GLS mit Koeffmatrix A hat mindestens eine Lösung.
Ergänzung:
f) m [mm] \ge [/mm] n
g) [mm] dim(ker(f_A))=0
[/mm]
h) [mm] dim(ker(f_A))\not=0 [/mm] |
Hallo,
Also zu der Ergänzung würd ich sagen f) und g) ja. Richtig?
Danke wie immer vorweg :)
Gruß Fawkes
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> Sei A eine mxn-Matrix über K. Sei : (K) (K), v Av die
> zugehörige lineare Abbildung. Welche der folgenden
> Aussagen sind dazu äquivalent, dass injektiv ist:
> Ergänzung:
> f) m [mm]\ge[/mm] n
> g) [mm]dim(ker(f_A))=0[/mm]
> h) [mm]dim(ker(f_A))\not=0[/mm]
> Hallo,
> Also zu der Ergänzung würd ich sagen f) und g) ja.
> Richtig?
Hallo,
ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Di 21.07.2009 | | Autor: | Fawkes |
hallo,
f) ist doch auch nich richtig, da bei m [mm] \ge [/mm] n die rückrichtung nich funktioniert.
gruß fawkes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Di 21.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo,
> f) ist doch auch nich richtig, da bei m [mm]\ge[/mm] n die
> rückrichtung nich funktioniert.
> gruß fawkes
in der Tat:
Betrachtet man $f: [mm] \IR^2 \to \IR^3$ [/mm] mit $f=0$ (d.h. $f: [mm] \IR^2 \to \IR^3,\; [/mm] v [mm] \mapsto [/mm] A*v=0$, wobei $A=0 [mm] \in \IR^{3 \times 2}$ [/mm] - d.h. [mm] $A\,$ [/mm] ist die $3 [mm] \times [/mm] 2$-Nullmatrix -), dann ist zwar $m=3 > 2=n$ und damit $m [mm] \ge n,\,$ [/mm] aber [mm] $f\,$ [/mm] ist in offensichtlicher Weise nicht injektiv.
Gruß,
Marcel
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