inhomogene lin.DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Sa 16.01.2010 | | Autor: | tynia |
Hallo. ich habe hier eine gleichung, wo ich nicht verstehe wie man darauf kommt. vielleicht weiß einer hier von euch was. danke schonmal.
Ich füge einfach mal nen ausschnitt aus meiner mitschrift ein:
Satz über die Lösung der allgemeinen linearen DGL
Sind die Funktionen a(x) und s(x) stetig auf I, kann eine partikuläre Lösung der DGL y' = a(x)y + s(x) durch Variation der Koeffizienten gefunden werden.
Die Lösung ist stetig differenzierbar: y(x), [mm] y_{p}(x) \in C^{1}(I)
[/mm]
Die allgemeine Lösung ergibt sich aus der Summe einer partikulären und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.
Das Anfangswertproblem besitzt genau eine Lösung, die durch Auswahl einer homogenenLösung durch Festlegung der freien Konstanten C über die Anfangsbedingungen [mm] y_{0}=y(x_{0}) [/mm] bestimmt wird.
So, und jetzt kommt eine Gleichung. die ich nicht verstehe
y = [mm] \integral_{}^{}{s*e^{- \integral_{}^{}{adx}}}dx*e^{\integral_{}^{}{adx}}+C*e^{\integral_{}^{}{adx}}
[/mm]
Kann mir das jemand erläutern?
LG
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Hallo tynia,
> Hallo. ich habe hier eine gleichung, wo ich nicht verstehe
> wie man darauf kommt. vielleicht weiß einer hier von euch
> was. danke schonmal.
>
> Ich füge einfach mal nen ausschnitt aus meiner mitschrift
> ein:
>
> Satz über die Lösung der allgemeinen linearen DGL
>
> Sind die Funktionen a(x) und s(x) stetig auf I, kann eine
> partikuläre Lösung der DGL y' = a(x)y + s(x) durch
> Variation der Koeffizienten gefunden werden.
>
> Die Lösung ist stetig differenzierbar: y(x), [mm]y_{p}(x) \in C^{1}(I)[/mm]
>
> Die allgemeine Lösung ergibt sich aus der Summe einer
> partikulären und der allgemeinen Lösung der zugehörigen
> homogenen Gleichung.
>
> Das Anfangswertproblem besitzt genau eine Lösung, die
> durch Auswahl einer homogenenLösung durch Festlegung der
> freien Konstanten C über die Anfangsbedingungen
> [mm]y_{0}=y(x_{0})[/mm] bestimmt wird.
>
> So, und jetzt kommt eine Gleichung. die ich nicht verstehe
>
> y = [mm]\integral_{}^{}{s*e^{- \integral_{}^{}{adx}}}dx*e^{\integral_{}^{}{adx}}+C*e^{\integral_{}^{}{adx}}[/mm]
>
> Kann mir das jemand erläutern?
Nun, die Lösung der homogenen DGL
[mm]y'=a\left(x\right)*y[/mm]
lautet
[mm]y_{hom}=C*e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}[/mm]
Jetzt wird die Variation der Konstanten angewendet:
[mm]y_{p}=K\left(x\right)*e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}[/mm]
und in die inhomogene DGL eingesetzt.
Dann bleibt stehen:
[mm]K'\left(x\right)**e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}=s\left(x\right)[/mm]
[mm]\gdw K'\left(x\right)=s\left(x\right)*e^{-\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}[/mm]
woraus sich
[mm]K\left(x\right)=\integral_{}^{}{s\left(x\right)*e^{-\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx} } \ dx}[/mm]
ergibt.
Damit ergibt sich als Gesamtlösung
[mm]y=y_{p}+y_{hom}=\integral_{}^{}{s\left(x\right)*e^{-\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx} } \ dx} * e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}} + C*e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}[/mm]
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Sa 16.01.2010 | | Autor: | tynia |
Hallo Mathepower,
> Nun, die Lösung der homogenen DGL
>
> [mm]y'=a\left(x\right)*y[/mm]
>
> lautet
>
> [mm]y_{hom}=C*e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}[/mm]
>
> Jetzt wird die Variation der Konstanten angewendet:
>
> [mm]y_{p}=K\left(x\right)*e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}[/mm]
>
> und in die inhomogene DGL eingesetzt.
Was ist denn genau die inhomogene DGL? Ich verstehe das noch nicht so ganz.
>
> Dann bleibt stehen:
>
> [mm]K'\left(x\right)**e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}=s\left(x\right)[/mm]
>
> [mm]\gdw K'\left(x\right)=s\left(x\right)*e^{-\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}[/mm]
>
> woraus sich
>
> [mm]K\left(x\right)=\integral_{}^{}{s\left(x\right)*e^{-\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx} } \ dx}[/mm]
>
> ergibt.
>
> Damit ergibt sich als Gesamtlösung
>
> [mm]y=y_{p}+y_{hom}=\integral_{}^{}{s\left(x\right)*e^{-\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx} } \ dx} * e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}} + C*e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}[/mm]
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> > LG
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> Gruss
> MathePower
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Hallo tynia,
> Hallo Mathepower,
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> > Nun, die Lösung der homogenen DGL
> >
> > [mm]y'=a\left(x\right)*y[/mm]
> >
> > lautet
> >
> > [mm]y_{hom}=C*e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}[/mm]
> >
> > Jetzt wird die Variation der Konstanten angewendet:
> >
> > [mm]y_{p}=K\left(x\right)*e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}[/mm]
>
> >
> > und in die inhomogene DGL eingesetzt.
>
> Was ist denn genau die inhomogene DGL? Ich verstehe das
> noch nicht so ganz.
Die inhomogene DGL hat eine von der Nullfunktion
verschiedene Störfunktion [mm]s\left(x\right)[/mm].
Betrachten wir die DGL
[mm]y\left(x\right)=a\left(x\right)*y\left(x\right)+s\left(x\right)[/mm]
Ist [mm]s\left(x\right)[/mm] identisch mit der Nullfunktion,
gilt also für alle x s(x)=0, so ist die DGL homogen.
> >
> > Dann bleibt stehen:
> >
> > [mm]K'\left(x\right)**e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}=s\left(x\right)[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw K'\left(x\right)=s\left(x\right)*e^{-\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}[/mm]
>
> >
> > woraus sich
> >
> >
> [mm]K\left(x\right)=\integral_{}^{}{s\left(x\right)*e^{-\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx} } \ dx}[/mm]
>
> >
> > ergibt.
> >
> > Damit ergibt sich als Gesamtlösung
> >
> >
> [mm]y=y_{p}+y_{hom}=\integral_{}^{}{s\left(x\right)*e^{-\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx} } \ dx} * e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}} + C*e^{\integral_{}^{}{a\left(x\right) \ dx}}[/mm]
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> > Gruss
> > MathePower
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Gruss
MathePower
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