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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 So 06.11.2005 | | Autor: | majorlee |
aaaaaaaaaaaaaalso...
folgendes problem: Ich sitz hier an 'nem übungsblatt und komm an einer stelle nicht weiter.
und zwar handelt es sich um eine inhomogene differentialgleichung. die allgemeine lösung einer inhomogenen dgl bekommt man ja mittels der allgemeinen lösung der homogenen dgl und einer speziellen lösung der inhomogenen. so, und zwar handelt es sich hierbei um folgende gleichung:
[mm]u'+u\cdot\cos(x)=\sin(x)\cdot\cos(x)[/mm] mit anfangswert [mm]u(0)=1[/mm]. also, sieht verdächtig einfach aus, habe ich gedacht, aber ich komm irgendwie an einer stelle nicht weiter.
ich muss es morgen abgeben, daher weiß ich nicht, ob es noch reicht, aber ich werd's mal posten, vielleicht habe ich glück =)
homogene DGL: [mm]u'+u\cdot\cos(x)=0[/mm]
[mm]\Rightarrow \integral_{u_{0}}^{u} \bruch{1}{s}{dx}=-\integral_{x_{0}}^{x} \cos(t){dt}[/mm]
[mm]\Rightarrow \ln(u)-\ln(u_{0})=-\sin(x)+\sin(x_{0})[/mm]
[mm]\Rightarrow u=e^{-\sin(x)} \cdot b[/mm], wobei [mm]b:=e^{\sin(x_{0})+\ln(u_{0})[/mm]
so, jetzt wollte ich variation der konstanten durchführen mit dem ansatz: [mm] u(x)=b(x) \cdot e^{-\sin(x)}[/mm]
dies in die ausgangsgleichung eingesetzt ergibt
[mm]\Rightarrow b' \cdot e^{-\sin(x)}+b \cdot e^{-\sin(x)} \cdot (-\cos(x))+b \cdot e^{-\sin(x)} \cdot \cos(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)[/mm]
[mm]\Rightarrow b'=e^{\sin(x)} \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)[/mm]
[mm]\Rightarrow b(x)=??????????[/mm]
kann mir da jemand weiterhelfen? oder habe ich ganz den falschen weg eingeschlagen?
wär echt super.
vielen dank schon mal.
Elia Lee
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Hallo majorlee,
> homogene DGL: [mm]u'+u\cdot\cos(x)=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \integral_{u_{0}}^{u} \bruch{1}{s}{dx}=-\integral_{x_{0}}^{x} \cos(t){dt}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \ln(u)-\ln(u_{0})=-\sin(x)+\sin(x_{0})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u=e^{-\sin(x)} \cdot b[/mm], wobei
> [mm]b:=e^{\sin(x_{0})+\ln(u_{0})[/mm]
>
> so, jetzt wollte ich variation der konstanten durchführen
> mit dem ansatz: [mm]u(x)=b(x) \cdot e^{-\sin(x)}[/mm]
> dies in die
> ausgangsgleichung eingesetzt ergibt
> [mm]\Rightarrow b' \cdot e^{-\sin(x)}+b \cdot e^{-\sin(x)} \cdot (-\cos(x))+b \cdot e^{-\sin(x)} \cdot \cos(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b'=e^{\sin(x)} \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b(x)=??????????[/mm]
>
> kann mir da jemand weiterhelfen? oder habe ich ganz den
> falschen weg eingeschlagen?
> wär echt super.
das Stichwort heißt "Partielle Integration". Die musst Du hier mehrmals anwenden.
Wähle als u'=[mm]e^{\sin\;x}\;\cos\;x[/mm] und als v = [mm]\sin\;x[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Mi 09.11.2005 | | Autor: | majorlee |
richtig!!!! oh mann *an den kopf schlag*
dass ich da nicht drauf gekommen bin... dabei ist es irgendiwe so naheliegend... mann, wie doof, dass ich das blatt schon längst abgeben musste...
das lustige ist ja noch, dass ich sogar versucht habe, partielle integration anzuwenden, aber so schlau, wie ich bin, habe ich es sowohl auf e als auch auf sind und dann noch auf cos angewendet... kein wunder...
naja, meine doofheit
aber danke =)
werd wahrscheinlich noch mit weiteren derartigen dummen fragen kommen...
bye =)
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