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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - inhomogene DGL
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inhomogene DGL: homogener Teil falsch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Di 14.10.2014
Autor: babflab

Aufgabe
x'' + x = sin (3t)

So,

ich weiß, dass hier bei der homogenen das raus kommen muss
[mm] x_{hom} [/mm] (t) = Acos(t) + Bsin(t)

Bei mir jedoch:
x'' + x = 0
Ansatz
x(t) = [mm] e^{st} [/mm]
x'(t) = s [mm] e^{st} [/mm]
x''(t) = [mm] s^{2} e^{st} [/mm]
[mm] x_{hom} [/mm] (t) = [mm] s^{2}* e^{st} [/mm] +  [mm] e^{st} [/mm]
[mm] x_{hom} [/mm] (t) = [mm] e^{st} [/mm] ( [mm] s^{2} [/mm] + 1)

habe ich für
[mm] s_{1,2} [/mm] = i
[mm] x_{hom} [/mm] (t) = [mm] Acos(\wurzel{-1} [/mm] t ) [mm] +Bsin(\wurzel{-1} [/mm] t )

Partikulär Teil:
x'' + x = sin (3t)
x(t) = A*cos (3t) + B*sin(3t)
x'(t) = -3A* sin(3t) + 3B*cos(3t)
x''(t)= -9A* cos (3t) - 9B*sin (3t)

[mm] x_{p} [/mm] (t) = -9A* cos (3t) - 9B*sin (3t) + A*cos (3t) + B*sin(3t)
[mm] x_{p} [/mm] (t) = -8A* cos (3t) - 8B*sin(3t)

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
1 = -8B
B = -1/2
0= -8A
A = 0
[mm] x_{p} [/mm] (t) = -1/8 sin(3t)

Wäre toll wenn ihr mir die Augen öffnen könntet bei dem homogenen Teil :((

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Di 14.10.2014
Autor: andyv

Hallo,

> x'' + x = sin (3t)
>  So,
>  
> ich weiß, dass hier bei der homogenen das raus kommen
> muss
>  [mm]x_{hom}[/mm] (t) = Acos(t) + Bsin(t)
>  
> Bei mir jedoch:
>  x'' + x = 0
>  Ansatz
>  x(t) = [mm]e^{st}[/mm]
>  x'(t) = s [mm]e^{st}[/mm]
>  x''(t) = [mm]s^{2} e^{st}[/mm]
>  [mm]x_{hom}[/mm] (t) = [mm]s^{2}* e^{st}[/mm] +  
> [mm]e^{st}[/mm]
>  [mm]x_{hom}[/mm] (t) = [mm]e^{st}[/mm] ( [mm]s^{2}[/mm] + 1)
>  
> habe ich für
> [mm]s_{1,2}[/mm] = i

Eine Lösung hast du vergessen.

>  [mm]x_{hom}[/mm] (t) = [mm]Acos(\wurzel{-1}[/mm] t ) [mm]+Bsin(\wurzel{-1}[/mm] t )


Das ist nicht richtig.
Ein komplexes Fundamentalsystem ist [mm] $\{\exp(it), \exp(-it) \}$, [/mm] demnach ist [mm] $\{\Re(\exp(it)), \Im(\exp(it)) \} [/mm] ein reelles FS.

> Partikulär Teil:
> x'' + x = sin (3t)
>  x(t) = A*cos (3t) + B*sin(3t)
>  x'(t) = -3A* sin(3t) + 3B*cos(3t)
>  x''(t)= -9A* cos (3t) - 9B*sin (3t)

> $ [mm] x_{p} [/mm] $ (t) = -9A* cos (3t) - 9B*sin (3t) + A*cos (3t) + > B*sin(3t)
> $ [mm] x_{p} [/mm] $ (t) = -8A* cos (3t) - 8B*sin(3t)

[mm] $x_p$ [/mm] solltest du hier durch [mm] $x_p''+x_p$ [/mm] ersetzen.

> Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
>  1 = -8B

B = -1/ 8

>  0= -8A
>  A = 0
>  [mm]x_{p}[/mm] (t) = -1/8 sin(3t)
>  
> Wäre toll wenn ihr mir die Augen öffnen könntet bei dem
> homogenen Teil :((
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Liebe Grüße

>  

Bezug
                
Bezug
inhomogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Di 14.10.2014
Autor: babflab

hmmm...
B= -1/8 ist klar

jedoch hab ich das nicht verstanden:

>  
> Eine Lösung hast du vergessen.
>  
> >  [mm]x_{hom}[/mm] (t) = [mm]Acos(\wurzel{-1}[/mm] t ) [mm]+Bsin(\wurzel{-1}[/mm] t )

>  
>
> Das ist nicht richtig.
> Ein komplexes Fundamentalsystem ist [mm]$\{\exp(it), \exp(-it) \}$,[/mm]
> demnach ist [mm]$\{\Re(\exp(it)), \Im(\exp(it)) \}[/mm] ein reelles
> FS.

Kannst du das vielleicht in anderen Worten erklären? Oder zeigen wie ich auf die richtige Lösung komme, vielleicht verstehe ich das an der Aufgabe wenn ich es sehe besser ....

Bezug
                        
Bezug
inhomogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Di 14.10.2014
Autor: babflab

Kann mir das sonst wer erklären ? Wäre sehr dankbar ...

Bezug
                                
Bezug
inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Di 14.10.2014
Autor: Teufel

Hi!

Na, du hast doch schon das charakteristische Polynom der Gleichung aufgestellt, [mm] $f(s)=s^2+1$. [/mm] Das hat die Nullstellen $i$ und $-i$. Das bedeutet, dass [mm] e^{ix} [/mm] und [mm] e^{-ix} [/mm] eine Basis des Fundamentalsystems bilden.

Wenn du z.B. $x''(t)-x(t)=0$ lösen solltest, wäre das char. Polynom z.B. [mm] s^2-1 [/mm] mit den Nullstellen 1 und -1. Dann hätte das Fundamentalsystem die Basis [mm] \{e^{1*x}, e^{-1*x}\}. [/mm]

Wie habt ihr das denn sonst immer gerechnet?

Bezug
                                        
Bezug
inhomogene DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 Di 14.10.2014
Autor: babflab

Genauso haben wir es gemacht! Ich hab es total vergessen, vielen Dank, hab es in meinen Unterlagen wieder gefunden, jetzt macht alles Sinn!

danke ! Kann  mich jetzt in ruhe schlafen legen :D

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