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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Mo 05.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Sei $(X,d)$ metrischer Raum.
Zeigen Sie, daß für die durch die metrik induzierte Topologie [mm] \tau [/mm] auf X gilt:
[mm] $\tau=I:=\left\{U\subseteq X~|~\text{U offen bzgl d}\right\}=\left\{U\subseteq X~|~\text{U ist Vereinigung offener Kugeln}\right\}=:I'$ [/mm] |
Hi, hier meine Idee:
[mm] \subseteq
[/mm]
Sei [mm] O\in [/mm] I. Also ist O offen bzgl. der Metrik d. Das heißt es gibt für des [mm] $x\in [/mm] O$ ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0: [mm] B(x,\varepsilon)\in [/mm] O$. Dabei soll [mm] $B(x,\varepsilon)$ [/mm] die offene Kugel um den Punkt x mit Radius [mm] \varepsilon [/mm] sein.
Setze O als Vereinigung all dieser Kugeln um seine Punkte.
Dann ist O in I', denn
sei x in O, dann ist x in einer Kugel enthalten und dann auch in der Vereinigung der Kugeln. Sei andererseits y ein Element in der ereinigung der Kugeln, dann ist y in mindestens einer der Kugeln und da O n.V. offen ist, liegt diese Kugeln in O. Also ist y in O.
[mm] $\supseteq$
[/mm]
Sei O in I', O also Vereinigung offener Mengen.
Sei x in B. Dann ist x in einer offenen Kugel und somit in einer offenen Menge (offene Kugeln sind offene Mengen.) dann findet man also eine Kugel in der Kugel.
anderseits ist doch (die "erste" der beiden Kugeln) eine teilmenge von O. Also liegt die "zweite" der Kugeln ganz in O, O ist also offen und damit in I.
stimmt es so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Di 06.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm](X,d)[/mm] metrischer Raum.
>
> Zeigen Sie, daß für die durch die metrik induzierte
> Topologie [mm]\tau[/mm] auf X gilt:
>
> [mm]\tau=I:=\left\{U\subseteq X~|~\text{U offen bzgl d}\right\}=\left\{U\subseteq X~|~\text{U ist Vereinigung offener Kugeln}\right\}=:I'[/mm]
>
> Hi, hier meine Idee:
>
> [mm]\subseteq[/mm]
>
> Sei [mm]O\in[/mm] I. Also ist O offen bzgl. der Metrik d. Das heißt
> es gibt für des
Du meinst jedes
> [mm]x\in O[/mm] ein [mm]\varepsilon > 0: B(x,\varepsilon)\red{\in} O[/mm].
Da gehört [mm] $\red{\subseteq}$ [/mm] hin!
> Dabei soll [mm]B(x,\varepsilon)[/mm] die offene Kugel um den Punkt x
> mit Radius [mm]\varepsilon[/mm] sein.
Nur ergänzenswerterweise: In [mm] $B(x,\varepsilon)$ [/mm] steckt natürlich explizit die Metrik drin. Also wenn man es so ausformuliert:
[mm] "$B(x,\varepsilon)$ [/mm] soll bzgl. der Metrik [mm] $d\,$ [/mm] die offene Kugel ..."
Formal:
Schreibe es doch so: Seien für $x [mm] \in [/mm] O$ nun [mm] $\varepsilon_x [/mm] > 0$ so, dass [mm] $B(x,\varepsilon_x) \subseteq O\,.$
[/mm]
> Setze O als Vereinigung all dieser Kugeln um seine Punkte.
Nicht setzen, sondern Du behauptest: Dann gilt
[mm] $$O=\bigcup_{x \in O}B(x,\varepsilon_x)\,.$$
[/mm]
Dies ist eine Behauptung, die Du noch zeigen musst (dabei ist [mm] $\supseteq$ [/mm] klar, da rechterhand nur Teilmengen von [mm] $O\,$ [/mm] vereinigt werden - und warum [mm] $\subseteq$ [/mm] gilt: Das folgt dann direkt aus der Offenheit von [mm] $O\,.$)
[/mm]
> Dann ist O in I', denn
> sei x in O, dann ist x in einer Kugel enthalten und dann
> auch in der Vereinigung der Kugeln. Sei andererseits y ein
> Element in der ereinigung der Kugeln, dann ist y in
> mindestens einer der Kugeln und da O n.V. offen ist, liegt
> diese Kugeln in O. Also ist y in O.
Da verstehe ich nicht mehr, was und warum Du das machst. Du hast nun gezeigt: Jedes $O [mm] \in [/mm] I$ lässt sich als [mm] $O=\bigcup_{B \text{ offene Kugel}}B$ [/mm] schreiben - denn es ist ja jedes [mm] $B(x,\varepsilon_x)$ [/mm] eine offene Kugel!
>
> [mm]\supseteq[/mm]
>
> Sei O in I', O also Vereinigung offener Mengen.
Nun ist zu zeigen, dass $O [mm] \in [/mm] I$ gilt - also nur, dass [mm] $O\,$ [/mm] offen bzgl. [mm] $d\,$ [/mm] ist.
Dafür wähle nun irgendein $x [mm] \in O\,.$ [/mm] Weil $O [mm] \in I'\,,$ [/mm] existiert dann, in Abhängigkeit vom [mm] $x\,,$ [/mm] eine offene Kugel [mm] $B\,$ [/mm] mit $x [mm] \in [/mm] B [mm] \subseteq O\,.$ [/mm]
> Sei x in B.
> Dann ist
weil [mm] $B\,$ [/mm] eine offene Kugel ist, somit
> x in einer offenen Kugel
> und somit in
> einer offenen Menge (offene Kugeln sind offene Mengen.)
> dann findet man also eine Kugel in der Kugel.
>
> anderseits ist doch (die "erste" der beiden Kugeln) eine
> teilmenge von O. Also liegt die "zweite" der Kugeln ganz in
> O, O ist also offen und damit in I.
Wichtige Ergänzung: Man sollte begründen, dass die "zweite Kugel" so gewählt werden kann, dass deren Mittelpunkt das Element [mm] $x\,$ [/mm] ist (evtl. mit Dreiecksungleichung)!
und weil diese offene "kleinere Kugel 'mit Mittelpunkt [mm] $x\,$' [/mm] " komplett in [mm] $O\,$ [/mm] liegt, und weil $x [mm] \in [/mm] O$ beliebig war, ist damit auch $O [mm] \in I\,.$
[/mm]
Fazit insgesamt:
Weil wir somit $I [mm] \subseteq [/mm] I' [mm] \subseteq [/mm] I$ gezeigt haben, folgt [mm] $I=I'\,.$
[/mm]
P.S.
Irgendwie denkst Du zu kompliziert. Um $I' [mm] \subseteq [/mm] I$ einzusehen, braucht man nicht noch eine Kugel in der Kugel, wenn die erste Kugel schon offen ist und komplett in [mm] $O\,$ [/mm] enthalten ist, wobei $O [mm] \in [/mm] I'$ beliebig war. Falsch ist diese Überlegung zwar nicht, aber unnötig.
Das Durchgestrichene hier vergess' bitte: Ich hatte nicht bedacht bzw. Du hast es auch nicht erwähnt, dass der Sinn "der Kugel in der Kugel" ja eben war, dass "die kleinere Kugel den Mittelpunkt [mm] $x\,$ [/mm] hat". Das war schon korrekt von Dir. Sorry!
Beim ersten Teil, wenn es nicht ganz klar war:
Dass für $O [mm] \in [/mm] I$ die Gleichung [mm] $O=\bigcup_{x \in O}B(x,\varepsilon_x)$ [/mm] schon $O [mm] \in [/mm] I'$ zeigt, kannst Du auch so einsehen:
Du musst ja nur zeigen, dass es eine Indexmenge [mm] $J\,$ [/mm] gibt so, dass für alle $j [mm] \in [/mm] J$ dann [mm] $B_j$ [/mm] offene Kugeln sind und Du dann [mm] $O=\bigcup_{j \in J}B_j$ [/mm] schreiben kannst.
Für $J:=O$ und [mm] $B_j=B_x:=B(x,\varepsilon_x)$ [/mm] (also $j=x [mm] \in [/mm] O$), wobei man zu jedem $j=x [mm] \in [/mm] O$ GENAU EIN [mm] $\varepsilon_x [/mm] > 0$ mit [mm] $B(x,\varepsilon_x) \subseteq [/mm] O$ auswählt, haben wir solch' eine Darstellung gefunden!
(Man kann das auch anders machen, indem man für jedes $x [mm] \in [/mm] O$ die Familie aller offenen Kugeln um [mm] $x\,$ [/mm] betrachtet, die noch komplett in [mm] $O\,$ [/mm] liegen etc... Aber wie gesagt: Man muss sich das Leben nicht kompliziert(er) machen (als man es braucht)!)
Edit: Achtung, ich habe was ergänzt!
P.P.S.
Dass ich erstmals Deine "Kugel in Kugel"-Überlegung für "zu kompliziert" gehalten habe, liegt einfach daran, weil das genau die Vorgehensweise des Beweises ist, wie man zeigt, dass offene Kugeln offen sind.
Wenn man das mal bewiesen hat (und ich dachte erst, dass ihr das schon hattet), so wäre sowieso $I' [mm] \subseteq [/mm] I$ klar, weil Vereinigungen offener Mengen immer offen sind.
Falls Du wissen willst, wie das formal aussieht:
Wenn $x [mm] \in [/mm] B(y,r)$ mit der offenen Kugel [mm] $B(y,r)\,$ [/mm] mit Mittelpunkt [mm] $y\,$ [/mm] und Radius $r > [mm] 0\,,$ [/mm] so betrachte - für den einzig interessanten Fall $x [mm] \not=y$ [/mm] - dann
$$B(x,R)$$
mit [mm] $R:=\text{min}\{d(x,y), \;\;r-d(x,y)\} [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
(Oder noch einfacher: $R:=r-d(x,y) > [mm] 0\,$ [/mm] - was auch im Falle [mm] $x=y\,$ [/mm] "Sinn macht"!)
Gruß,
Marcel
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