induktion kommutativgesetz add < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Do 21.12.2006 | | Autor: | klamao |
hallo,
unser professor hat uns die lösung zum beweis der formel n+m=m+n (kommutativgesetz der addition) gegeben. nur ergibt das für mich keinen sinn und ich verstehe einige schritte nicht:
vollständige induktion nach m (ist es egal, ob nach n oder m??)
m=1 1+1=1+1 (warum ist hier n auch 1? sollte nicht nur m 1 sein?)
m->m+1 1+(m+1)=1+m´(m´ist der nachfolger von m)
=(1+m)´
=(m+1)´nach vorraussetzung
=(m+1)+1
n->n+1 (n+1)+m=n+(1+m) Assoziativgesetz
=n+(m+1)
=n+m´
=(n+m)´
=(m+n)´nach vorraussetzung
=m+n´
=m+(n+1) also gilt die formel für alle n aus N
die einzelnen rechenschritte sind mir ja schon klaer, aber ich verstehe nicht, wieso es erstens heißt "induktion nach m" und anschließend dann doch wieder nach n , oder muss man immer beides machen?und im ersten schritt ist n=1 und m=1 direkt zusammengefasst?!bei anderen aufgaben haben wir es jedoch immer nur nach einer variablen durchgeführt. kann mir das jemand vielleicht erklären, wie man es allgemein machen muss? kann nämlich meinen professor auch nicht fragen.lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Do 21.12.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
hier mal meine Anmerkungen:
>
> vollständige induktion nach m (ist es egal, ob nach n oder
> m??)
"Vollständige Induktion nach m" ist an dieser Stelle vielleicht etwas unglücklich, im Grunde besteht das ganze aus zwei getrennten Induktionsbeweisen.
Sagen wir mal, wir wollen n+m=m+n durch Induktion nach n beweisen.
Fü den Induktionsanfang (n=1) ist also zu zeigen, dass 1+m=m+1 für alle [mm] m\in\IN [/mm] .
Dass dies richtig ist zeigen wir durch Induktion nach m:
>
> m=1 1+1=1+1 (warum ist hier n auch 1? sollte nicht nur m
> 1 sein?)
> m->m+1 1+(m+1)=1+m´(m´ist der nachfolger von m)
> =(1+m)´
> =(m+1)´nach vorraussetzung
> =(m+1)+1
An dieser Stelle ist jetzt die Induktion nach m abgeschlossen und der Induktionsanfang der "n-Induktion" gezeigt.
Für diese braucht man jetzt noch den Induktionsschritt:
> n->n+1 (n+1)+m=n+(1+m) Assoziativgesetz
> =n+(m+1)
> =n+m´
> =(n+m)´
> =(m+n)´nach vorraussetzung
> =m+n´
> =m+(n+1) also gilt die formel für alle n aus N
>
>
Die beiden Induktionen (nach m und nach n) sind also ineinander verschachtelt - die eine ist der Beweis für den Induktionsanfang der anderen.
Ich hoffe damit siehst Du etwas klarer.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 21.12.2006 | | Autor: | klamao |
hey,
ja super, danke!
aber woher weiß ich , dass ich eine induktion nach beiden variablen durchführen muss, da man bei einigen gesetzen mit mehreren variablen die induktion trotzdem nur einmal macht?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Do 21.12.2006 | | Autor: | leduart |
hallo
hier sind n und m unabhängig, und beide kann man beliebig wählen. wenn man weiss m+1=1+m weiss man noch nicht, ob auch gilt m+2=2+m usw.
Was du bei anderen Beweisen mit 2 Variablen meinst, ist wohl so, dass etwas für jede Zahl r stimmt so wie die Formel für [mm] (a+b)^n [/mm] die beweist man für beliebige a und b, aber a und b fest.
meinst du sowas?
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:01 Sa 23.12.2006 | | Autor: | klamao |
hey, danke, langsam seh ich klarer.
also ein beispiel wäre das distributivgesetz n(m+k)=nm+km da macht man die induktion nur nach k. oder das assoziativgesetz (nm)k=n(mk).
heißt es, man muss nur nach einer variablen durchführen, wenn die irgendwie alle ineinandergebunden sind (wie hier durch multiplikation und klammern)?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 07.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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