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| Aufgabe | Die ganzrationale Funktion [mm] T_{n} [/mm] mit [mm] T_{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n} [/mm] erfülle die approximationsbedingungen
[mm] f(0)=T_{n}(0);f'(0)=T_{n}'(0);f^{(n)}(0)=T_{n}^{(n)}(0);
[/mm]
dann gilt für koeffizienten [mm] a_{i} [/mm] von [mm] T_{n}
[/mm]
[mm] a_{i}=\bruch{f^{(i)}(0)}{i!} [/mm] wobei [mm] a_{0}=f(0) [/mm] |
Hallo miteinander! der obige satz soll mithilfe vollständiger induktion bewiesen werden ... (es geht um taylor polynome um den entwicklungspunkt x=0)
der induktionsanfang für i=1 wäre ja
[mm] a_{1}=\bruch{f^{(1)}(0)}{1} [/mm] =f'(0) (w)
für den induktionsschluss müsste doch jetzt für i->i+1 :
[mm] a_{i+1}=\bruch{f^{(i+1)}(0)}{(i+1)!} [/mm]
... tjoar und jetzt kommt ich schon nicht mehr weiter :P
ich könnte noch sagen dass
[mm] a_{i+1}=\bruch{(f^{(i)})'(0)}{i!*(i+1)} [/mm] nur so richtig weiterbringen tut mich das auch nicht. ich weiss auch nicht so recht wie ich die induktionsvoraussetzung in den zweiten schritt einsetzen soll?
ich hoffe jemand hat eine idee :P
danke für jede antwort!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mo 15.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
überlege zuerst ne Formel für [mm] T_n^{(i)} [/mm] und zeige die durch vollst. Induktion
Gruss leduart
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hallo leduart!
danke für deine antwort. ich habe jetzt ein bisschen rumprobiert und würde einen beweise so aufziehen:
[mm] T_{n}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}
[/mm]
[mm] T_{n}^{(i)}(x)=i!*a_{i}+(i+1)*i*(i-1)*...*2*a_{i+1}x+(i+2)*(i+1)*...*3*a_{i+2}x^{2}+...+n*(n-1)*...*(n-i+1)*a_{n}*x^{n-i}
[/mm]
nach den im satz gestellten bedingungen würd ich als induktionsstart jetzt machen i=1
[mm] T_{n}^{(1)}(0)=1!*a_{1}=f^{(1)}(0) [/mm] -> [mm] a_{1}=\bruch{f^{(1)}(0)}{1!} [/mm] (w)
dann für i->i+1
[mm] T_{n}^{(i+1)}(0)=(i+1)!*a_{i+1} [/mm] also
[mm] (T_{n}^{(i)})'(0)=(i+1)!*a_{i+1} [/mm] wenn ich jetzt [mm] T_{n}^{(i)} [/mm] (s.o) ableite und für x=0 setze würde ich links erhalten
[mm] (i+1)!*a_{i+1}=(i+1)!*a_{i+1} [/mm] (w)
da jetzt wieder [mm] T_{n}^{(i+1)}(0)=(i+1)!*a_{i+1}=f^{(i+1)}(0) [/mm] gelten soll wäre jetzt richtigerweise -> [mm] a_{i+1}=\bruch{f^{(i+1)}(0)}{(i+1)!}
[/mm]
is die sache damit (richtig) bewiesen? oder habe ich etwas falsch verstanden/mache ich etwas falsch? würd mich über nen kurzen kommentar freuen :P
danke und grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Di 16.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hallo leduart!
> [mm]T_{n}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}[/mm]
>
> [mm]T_{n}^{(i)}(x)=i!*a_{i}+(i+1)*i*(i-1)*...*2*a_{i+1}x+(i+2)*(i+1)*...*3*a_{i+2}x^{2}+...+n*(n-1)*...*(n-i+1)*a_{n}*x^{n-i}[/mm]
das weisst du zwar, aber genau das solltest du ja beweisen. Du denkst wenn du das so hinschreibst ja sogar in ner Art Induktion, aber die musst du auch durchführen!
als bekannt, solltest du hinschreiben [mm] (a*x^b)'=a*b*x^{b-1}
[/mm]
dann als Behauptung deine Formel oben hinschreiben. ( besser mit Summenzeichen, -macht ihr das nicht?
T(n)= [mm] \summe_{i=0}^{n}a_ix^i
[/mm]
[mm] (T(n))^{(k)}=\summe_{i=k}^{n}i!/(i-k)!*a_i*x^{i-k}
[/mm]
und die Formel (oder deine mit Pünktchen) musst du mit Induktion beweisen, für [mm] k\le [/mm] n
dann kommt erst deine Rechnung für die Bestimmung der [mm] a_i
[/mm]
da seh ich keine Induktion mehr.
Gruss leduart
> nach den im satz gestellten bedingungen würd ich als
> induktionsstart jetzt machen i=1
>
> [mm]T_{n}^{(1)}(0)=1!*a_{1}=f^{(1)}(0)[/mm] ->
> [mm]a_{1}=\bruch{f^{(1)}(0)}{1!}[/mm] (w)
>
> dann für i->i+1
>
> [mm]T_{n}^{(i+1)}(0)=(i+1)!*a_{i+1}[/mm] also
> [mm](T_{n}^{(i)})'(0)=(i+1)!*a_{i+1}[/mm] wenn ich jetzt
> [mm]T_{n}^{(i)}[/mm] (s.o) ableite und für x=0 setze würde ich
> links erhalten
> [mm](i+1)!*a_{i+1}=(i+1)!*a_{i+1}[/mm] (w)
>
> da jetzt wieder
> [mm]T_{n}^{(i+1)}(0)=(i+1)!*a_{i+1}=f^{(i+1)}(0)[/mm] gelten soll
> wäre jetzt richtigerweise ->
> [mm]a_{i+1}=\bruch{f^{(i+1)}(0)}{(i+1)!}[/mm]
>
> is die sache damit (richtig) bewiesen? oder habe ich etwas
> falsch verstanden/mache ich etwas falsch? würd mich über
> nen kurzen kommentar freuen :P
> danke und grüße
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hallo leduart und danke für deine antwort!
ja die summenzeichen sind neu für mich haben wir bisher wohl einfach nie wirklich gebraucht..
um die behauptung [mm] (T(n))^{(k)}=\summe_{i=k}^{n}i!/(i-k)!\cdot{}a_i\cdot{}x^{i-k} [/mm] mit induktion zu beweisen würde ich als induktionsstart jetzt k=1 wählen also
[mm] (T(n))^{(1)}=\summe_{i=k=1}^{n}1!/(1-1)!\cdot{}a_1\cdot{}x^{1-1}+...+\bruch{n!}{(n-1)!}*a_{n}*x^{n-1}=\bruch{1!}{0!}*a_{1}*x^{0}+\bruch{2!}{1!}*a_{2}*x^{1}+...+\bruch{n!}{(n-1)!}*a_{1}*x^{n-1}=T_{n}^{(1)}(x) [/mm] (w)
induktionsschritt: wenn die formel für m=k gilt dann auch für m=k+1
[mm] (T(n))^{(k+1)}=\summe_{i=k+1}^{n}(k+1)!/(k+1-k-1)!\cdot{}a_{k+1}\cdot{}x^{k+1-k-1}+...+\bruch{n!}{(n-k-1)!}*a_{n}*x^{n-k-1}=(T_{n}^{(k)}(x))'
[/mm]
habe ich da wieder einen logikfehler drin oda ist das in ordnung? wir ham induktion leider nur kurz an relativ einfachen zahlenbeweisen durchgenommen deshalb bin ich mir hier unsicher...
danke und grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Do 18.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit den Pünktchen ist das schwer zu übersehen für mich.
[mm] T(n)=a_0+a_1x^1....+a_ix^i+ [/mm] ... [mm] a_nx^n
[/mm]
daraus flgt mit der regel [mm] (a*x^b)'=a*b*x^{b-1}
[/mm]
[mm] T'(n)=a_1+2a_2x^1+....+a_i*i*x^{i-1}+.....a_nx^{n-1} [/mm]
mit i!/(i-1)!=i ist das die Beh. für k=1
ind. vors: richtig für k
also $ [mm] (T(n))^{(k)}=\summe_{i=k}^{n}i!/(i-k)!\cdot{}a_i\cdot{}x^{i-k} [/mm] $
folgt [mm] T^{(k+1)}(n)=(T^{(k)}(n)=\summe_{i=k}^{n}i!/(i-k)!\cdot{}a_i\cdot{}x^{i-k-1}*(i-k) [/mm] $
und wegen i!/(i-k)!*(i-k)=i!/(i-(k+1))!
ist das die Induktionsbehauptung.(die bei dir irgendwo stehen sollte)
Du musst deutlicher sagen, wo du was verwendest!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Do 18.02.2010 | | Autor: | lunartoken |
oke habs jetzt :P
danke für die geduldige hilfe leduart!
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