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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 So 26.08.2007 | | Autor: | admir |
Hallo,
Ich habe hier eine Bernoulli - Ungleichung die wir in der schule gelöst hatten. ich komme aber noch nicht ganz hinter das verfahren des induktinsbeweises.
Hier die Ungleichung: Für x>-1; x ungleich 0 gilt [mm] (1+x)^n>1+nx [/mm] für [mm] n\in\IN, [/mm] n>1. (INDUKTIONSANFANG BEI 2)
Beweis durch Induktion
[mm] ,,n=2":(1+x)^2 [/mm] 0 [mm] 1+2x+x^2> [/mm] 1+2x
,,n": Die Ungleichung gelte für [mm] (1+x)^n>1+nx [/mm] für n
[mm] n\Rightarrow(n+1): [/mm] Wenn diese Annahme gilt, dann gilt sie auch für (n+1)
[mm] (1+x)^n+1>1+(n+1)x
[/mm]
Beweis: [mm] (1+x)^n+1 [/mm] = [mm] (1+x)^n [/mm] * (1+x)
= (1+nx) * (1+x)
= [mm] 1+x+nx+nx^2
[/mm]
= [mm] 1+x(n+1)+nx^2> [/mm] 1+(n+1)x
Damit ist gezeigt, dass die Bernoulli - Ungleichung für x>-1 stimmt.
Währe nett wenn jemand mir das verfahren erläutern könnte.
gruß: admir
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich habe hier eine Bernoulli - Ungleichung die wir in der
> schule gelöst hatten. ich komme aber noch nicht ganz hinter
> das verfahren des induktinsbeweises.
Hallo,
vollständige Induktion verwendet man oft, wenn eine Aussage für alle natürlichen Zahlen oder für alle natürlichen Zahlen ab einer bestimmten gezeigt werden sollen.
> Hier die Ungleichung: Für x>-1; x ungleich 0 gilt
> [mm](1+x)^n>1+nx[/mm] für [mm]n\in\IN,[/mm] n>1. (INDUKTIONSANFANG BEI 2)
Das ist bei der hier zu zeigenden Aussage der Fall.
Man soll zeigen, daß für sämtliche x, die größer als -1 sind gilt
[mm] (1+x)^2>1+2x
[/mm]
[mm] (1+x)^3>1+3x
[/mm]
[mm] (1+x)^4>1+4x
[/mm]
[mm] (1+x)^5>1+5x
[/mm]
usw.
Hierzu tut man folgendens:
1. Man zeigt die Aussage für die kleinste natürliche Zahl, für die sie gelten soll.
Das ist der Induktionsanfang. In Deinem Fall ist zu zeigen, daß die Aussage für n=2 gilt.
2. Man setzt voraus, daß die Aussage für sämtliche n gilt. (Induktionsvoraussetzung). Hier ist nichts weiter zu tun.
3. Unter der Voraussetzung, daß die Aussage für alle n gilt, zeigt man, daß sie auch gilt, wenn man n durch n+1 ersetzt.
D.h. gilt sie für ein n, so gilt sie auch für die darauffolgende natürliche Zahl. (Induktionsschluß)
Wenn es einem geglückt ist, die Aussage für n+1 zu beweisen, ist die Aussage komplett bewiesen,
denn
- man hat einen Induktionsanfang, also gezeigt, daß sie für eine bestimmte, konkrete Zahl gilt. (In Deinem Beispiel für die 2)
- man hat gezeigt, daß sie dann auch für die darauffolgende gilt, also für 3. Weil sie für 3 gilt, gilt sie auch für 4. Daher auch für 5 usw.
>
> Beweis durch Induktion
>
> [mm],,n=2":(1+x)^2[/mm] 0 [mm]1+2x+x^2>[/mm] 1+2x
Das ist der Induktionsanfang. Die Gültigkeit der zu beweisenden Aussage wird durch Vorrechnen gezeigt.
> ,,n": Die Ungleichung gelte für [mm](1+x)^n>1+nx[/mm] für n
Dies ist die Induktionsvoraussetzung. Man nimmt an, die Aussage gilt für alle n.
>
> [mm]n\Rightarrow(n+1):[/mm] Wenn diese Annahme gilt, dann gilt sie
> auch für (n+1)
> [mm](1+x)^n+1>1+(n+1)x[/mm]
Dies ist die Aussage, welche im Induktionsschluß bewiesen werden muß, nämlich die Gültigkeit der Aussage für n+1.
> Beweis: [mm](1+x)^n+1[/mm] = [mm](1+x)^n[/mm] * (1+x)
> = (1+nx) * (1+x)
> = [mm]1+x+nx+nx^2[/mm]
> = [mm]1+x(n+1)+nx^2>[/mm]
> 1+(n+1)x
Hier siehst Du, wie man es beweist. Man beginnt mit der einen Seite der Ungleichung, und formt sie unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung (das ist ganz wichtig!!!) um, bis am Ende das Gewünschte dasteht.
In Deinem Beweis ist ein Fehler, am Anfang der zweiten Zeile muß es ">" heißen. denn von der ersten zur zweiten Zeile verwendest Du, daß nach Voraussetzung [mm] (1+x)^n>1+nx [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 So 26.08.2007 | | Autor: | admir |
ich danke dir für die hilfe. ist mir jetzt viel klarer geworden
gruß
admir
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