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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Mo 18.12.2006 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Kann mir hierbei jemand helfen???
Zeige, dass die Gleichung [mm] y^{2}+xz+z^{2}-e^{xz}=1 [/mm] in einer Umgebung des Punktes (0,-1,1) in der Form g(x,y)=z eindeutig auflösbar ist. Gebe den Gradienten von g im Punkt (0,-1) an.
Ich versteh das irgendwie nicht so richtig, wenn ich (0,-1,1) in die Gleichung einsetze erhalte ich 1=1, aber was hat das ganze mit g zu tun und ist der Gradient von g nicht g'(x,y)=0 ??
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Hi Bobby,
> Hallo!
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> Kann mir hierbei jemand helfen???
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> Zeige, dass die Gleichung [mm]y^{2}+xz+z^{2}-e^{xz}=1[/mm] in einer
> Umgebung des Punktes (0,-1,1) in der Form g(x,y)=z
> eindeutig auflösbar ist. Gebe den Gradienten von g im Punkt
> (0,-1) an.
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> Ich versteh das irgendwie nicht so richtig, wenn ich
> (0,-1,1) in die Gleichung einsetze erhalte ich 1=1,
also ist dieser punkt eine lösung deiner ausgangsgleichung.
> aber
> was hat das ganze mit g zu tun und ist der Gradient von g
> nicht g'(x,y)=0 ??
der satz über implizite funktionen sagt, dass du unter gewissen voraussetzungen weitere lösungen in der nähe der lösung findest und dass du diese lösungs-menge als graph darstellen kannst, in deinem fall $z=g(x,y)$. Der gradient von $g$ ergibt sich direkt aus dieser lösungseigenschaft, schau das nochmal in deinen unterlagen nach.
Konkret musst du erstmal zeigen, dass die ableitung deiner gleichungsfunktion nach $z$ im fraglichen punkt nicht null ist, dann kannst du den satz nämlich nur anwenden. es gilt dann
$f(x,y,g(x,y))=1$ für alle $x,y$ nahe bei der lösung, f wie oben.
ableiten nach x und y (kettenregel) liefert den gradienten von g.
Gruß
Matthias
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