impliziet definierte funktione < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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nabend alle,
ich habe eine übungsaufgabe die mir kopfweh bereitet. ich hoffe einer kann mir zumindest den lösungsansatz sagen kann.
Aufgabe :
Zeigen Sie , dass sich die Relation :
g(x,y,z) = [mm] z^3-x*z-y [/mm] =0
in einer umgebung von (1,0,1) lokal nach z auflösen lässt mit z=u(x,y).
Zeigen Sie weiter , dass u der folgenden partiellen Differentialgleichung genügt :
[mm] (3*u^2-x)^3 [/mm] * uxy + [mm] 3*u^2 [/mm] + x = 0
PS : uxy ist die zweite ableitung von u nach x dann y
für das erste aufgabenteil : es ist mir klar wegen gz(1,0,1)=2 =! 0 ist g nach z auflösbar. aber beim zweiten teil komme ich nicht weiter. genauer gesagt : in der lösungs hinweise steht irgendwas mit impliziet deferenzieren und das genau kriege ich nicht hin.
ich hoffe einer von euch kann mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Timo,
die fertige Lösung kann (und will) ich Dir nicht präsentieren, aber vielleicht kann ich dir ein paar tips geben, die dir weiterhelfen:
Du hast also zuerst gezeigt, dass es eine Funktion $u$ gibt, die lokal die Nullstellen-Menge der Funktion $g$ darstellt. Gut. Du weißt also, dass
[mm] $g(x,y,u(x,y))=u^3-x*u-y=0$
[/mm]
gilt in einer Umgebung von $(x,y)=(1,0)$. Diese Identität kannst Du jetzt natürlich wahlweise nach $x$ und/oder $y$ differenzieren. Dadurch erhältst du differentialgleichungen für $u$, $u$ wird also implizit differenziert. Ableitung nach $x$ ergibt zB.
[mm] $g_x(x,y,u)=3u^2 u_x-u-x u_x=0$
[/mm]
Wenn Du das nochmal nach $y$ ableitest, bekommst du etwas, was deiner gesuchten differentialgleichung zumindest schon mal etwas ähnlich sieht. Hier musst Du vermutlich ein wenig tüfteln, um das ergebnis zu bekommen.
Viele Grüße
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:48 Fr 05.08.2005 | | Autor: | Timo-Beil |
hi mathias,
danke für dein Tipp. Das hat mir sehr geholfen. Der knackpunkt war g(x,y,z) als g(x,y,u(x,y)) zu schreiben und g(x,y,u)=0 impliziet Nach x , y, xy dann einbißchen tüfteln aber wirklich " einbißchen"  . dann hat man 0=0 :-D
danke noch mal und liebe grüße an NRW.
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