imaginäre Wurzeln < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Sa 18.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Verschwinden imaginäre Wurzeln:
[mm] $\wurzel{1 + \wurzel{-3}} [/mm] + [mm] \wurzel{1 - \wurzel{-3}} [/mm] = [mm] \wurzel{6}$ [/mm] ? |
Hallo Zusammen,
im Reellen ist die Wurzel auf [mm] \wurzel{-3} [/mm] nicht definiert, somit führt man die komplexen Zahlen ein:
x = [mm] \wurzel{-3}
[/mm]
x² = -3
x² = 3i²
x = [mm] \pm \wurzel{3i²} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{3}i
[/mm]
Dies kann ich doch nun in die Gleichungen einsetzen:
1.Fall positiv:
[mm] $\wurzel{1 + \wurzel{3}i} [/mm] + [mm] \wurzel{1 - \wurzel{3}i} [/mm] = [mm] \wurzel{6}$ [/mm] | ()²
[mm] 1+\wurzel{3}i [/mm] + 2 [mm] \wurzel{(1 + \wurzel{3}i)(1 - \wurzel{3}i)} [/mm] + 1 - [mm] \wurzel{3}i [/mm] = 6
2 + 2 [mm] \wurzel{1-\wurzel{3}i+\wurzel{3}i-3i²} [/mm] = 6
2+ 2 [mm] \wurzel{1+3} [/mm] = 6
6 = 6
2.Fall negativ:
[mm] $\wurzel{1 + (-\wurzel{3}i)} [/mm] + [mm] \wurzel{1 - (-\wurzel{3}i)} [/mm] = [mm] \wurzel{6}$ [/mm] | ()²
[mm] 1-\wurzel{3}i [/mm] + 2 [mm] \wurzel{(1 - \wurzel{3}i)(1 + \wurzel{3}i)} [/mm] + 1 + [mm] \wurzel{3}i [/mm] = 6
2 + 2 [mm] \wurzel{1+\wurzel{3}i-\wurzel{3}i-3i²} [/mm] = 6
2+ 2 [mm] \wurzel{1+3} [/mm] = 6
6 = 6
Somit verschwinden imginäre Wurzeln. Ist dies so richtig? Oder sollte man dies anders zeigen?
Gruß
itse
|
|
| |
|
Hallo itse,
mein Vorschlag wäre, i gar nicht zu verwenden,
sondern nur ein Symbol w, das für [mm] \wurzel{-3} [/mm] steht.
Dann so wie du es schon getan hast, alle Wurzeln
durch fortgesetztes Quadrieren und Umstellen
zum Verschwinden bringen und dabei [mm] w^2 [/mm] durch -3
ersetzen. Die Unterscheidung von zwei Fällen er-
übrigt sich dabei, und dazu wird alles erheblich
einfacher.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Sa 18.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Al-Chw.,
mit deinem Vorschlag kommt das gleiche Ergebnis raus, damit verschwinden also die imaginären Wurzeln. Wäre mein Ansatz, der aufwendiger ist, trotzdem richtig?
Vielen Dank
itse
|
|
|
| |
|
> Hallo Al-Chw.,
>
> mit deinem Vorschlag kommt das gleiche Ergebnis raus, damit
> verschwinden also die imaginären Wurzeln. Wäre mein Ansatz,
> der aufwendiger ist, trotzdem richtig?
Hallo itse,
deine Rechnungen (in denen du berücksichtigst, dass
im Komplexen die Wurzeln "zweiwertig" sind), sind
natürlich auch in Ordnung. Dabei setzt du aber das
Konzept der komplexen Zahlen und der imaginären
Einheit i schon voraus.
Dabei haben aber Terme wie der gegebene historisch
gesehen erst dazu geführt, diese Konzepte zu erfinden.
LG
|
|
|
|
