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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Mi 29.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi
mal wieder ein wohl weitgehend einfacher beweis, aber ich komme nicht wirklich drauf: wie kann man zeigen, dass gilt
sei $R$ ein kommutativer Ring und [m] \mathfrak{m} \subset R [/m] ein maximales ideal, dann ist [m] \mathfrak{m} [/m] ein primideal. ohne dabei den umweg über quotientenringe (also [m] \mathfrak{m} [/m] maximal [m] \Longleftrightarrow [/m] [m] R/\mathfrak{m} [/m] körper [m] \Longrightarrow [/m] [m] R / \mathfrak{m} [/m] integritätsring [m] \Longleftrightarrow [/m] [m] \mathfrak{m} [/m] prim) zu gehen?
hierzu nochmal die definitionen für maximales ideal und primideal:
sei $R$ ein kommutativer ring, dann heißt
(1) ein Ideal [mm] $\mathfrak{p} \subset [/mm] R$ prim, wenn [mm] $\mathfrak{p} \not= [/mm] R$ und aus $ab [mm] \in \mathfrak{p}$ [/mm] stets folgt, dass $a [mm] \in \mathfrak{p}$ [/mm] oder $b [mm] \in \mathfrak{p}$.
[/mm]
(2) ein ideal [mm] $\mathfrak{m} \subset [/mm] R$ maximal, wenn [mm] $\mathfrak{m} \not= [/mm] R$ und für ein Ideal [mm] $\mathfrak{a} \subset [/mm] R$ mit [mm] $\mathfrak{m} \subset \mathfrak{a} \subset [/mm] R$ stets folgt, dass [mm] $\mathfrak{a} [/mm] = [mm] \mathfrak{m}$ [/mm] oder [mm] $\mathfrak{a} [/mm] = R$.
die frage ist nicht wirklich dringend, würde mich aber natürlich freuen, wenn ich eine antwort darauf erhalten würde!
grüße
andreas
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Hallo Andreas,
hier mal eine Beweisskizze.
Wir nehmen an, m sei ein maximales Ideal, aber kein Primideal.
Es gibt also a [mm] \not\in [/mm] m und b [mm] \not\in [/mm] m, so daß ab [mm] \in [/mm] m.
Jetzt betrachten wir das Ideal, was von m und a erzeugt wird.
Dies ist einerseits echt größer als m, da es zusätzlich zu m das Element a enthält, andererseits noch nicht ganz R, da es das Element b nicht enthält.
Schöne Grüße
Basilikum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mi 29.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi
danke erstmal für die antwort. der großteil des beweises ist klar. das einzige, was nicht auf anhieb klar ist, ist, dass
[m] b \not\in (a, \mathfrak{m}) [/m],
wenn $(a, [mm] \mathfrak{m})$ [/mm] das von $a$ und [mm] $\mathfrak{m}$ [/mm] erzeugt ideal bezeichnet. das habe ich dann so probiert: angenommen $b [mm] \in [/mm] (a, [mm] \mathfrak{m})$, [/mm] dann gibt es endlich viele [mm] $m_i \in \mathfrak{m}$, $\lambda_i \in [/mm] R$ und [mm] $\mu \in [/mm] R [mm] \setminus \mathfrak{m}$, [/mm] so dass
[m] b = \mu a + \sum_{i=1}^n \lambda_i m_i [/m]
(wobei [mm] $\mu$ [/mm] nicht aus [mm] $\mathfrak{m}$ [/mm] sein darf, da sonst $b [mm] \in \mathfrak{m}$) [/mm] . dann ist aber
[m] \mathfrak{m} \ni ab = \mu a^2 + \sum_{i=1}^n \lambda_i a m_i [/m]
und wegen [mm] $m_i \in \mathfrak{m} \; \forall \, [/mm] i$ folgt dann
[m] \mu a^2 = ab - \sum_{i=1}^n \lambda_i a m_i \in \mathfrak{m} [/m]
und an dieser stelle habe ich mir nun den widerspruch erhofft, der aber für mich leider nicht offensichtlich ist, da angenommen wurde, dass [mm] $\mathfrak{m}$ [/mm] nicht prim sei und somit kann ja durchaus [mm] $\mu a^2 \in \mathfrak{m}$ [/mm] gelten, obwohl $ [mm] \mu, [/mm] a [mm] \not\in \mathfrak{m}$
[/mm]
was mache ich falsch? (ich hoffe ich stelle mich nicht allzu dämlich an)
andreas
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Hallo Andreas,
Ja, Du hast recht, genauer gesagt ist mein Beweis sogar falsch.
Man kann sich leicht ein Gegenbeispiel überlegen. Ich denke aber, ich
weiß trotzdem, wie man es direkt beweisen könnte. Dies werde ich
jetzt gleich als weitere Antwort zu Deiner ursprünglichen Frage posten.
Viele Grüße
Basilikum
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Hallo Andreas,
Sorry für den falschen ersten Beweisversuch. Ich hoffe nun, daß ich
bei diesem Beweis nicht auch einen Fehler eingebaut habe:
Sei [mm] \mathfrak{m} [/mm] ein maximales Ideal im Ring R.
Betrachte a [mm] \in [/mm] R, b [mm] \in [/mm] R, so daß ab [mm] \in \mathfrak{m}. [/mm] Entweder ist a [mm] \in \mathfrak{m} [/mm] oder a [mm] \not\in \mathfrak{m}. [/mm] Falls a [mm] \not\in \mathfrak{m},
[/mm]
dann betrachte das Ideal in R, das von [mm] \mathfrak{m} [/mm] und a erzeugt wird.
Dies ist dann ein Ideal, das [mm] \mathfrak{m} [/mm] echt enthält ( weil ja a [mm] \not\in \mathfrak{m} [/mm] ) muß also bereits der ganze Ring R sein (denn [mm] \mathfrak{m} [/mm] ist ja maximales Ideal). Insbesondere enthält es die 1 des Rings. Es gibt also ein m [mm] \in \mathfrak{m} [/mm] und ein r [mm] \in [/mm] R, so daß
m + ra = 1.
Diese Gleichung können wir mit b durchmultiplizieren und erhalten:
mb + rab = b.
Wir haben vorausgesetzt, daß ab [mm] \in \mathfrak{m}. [/mm] Aufgrund der Abschlußeigenschaften von Idealen folgt jetzt, daß b [mm] \in \mathfrak{m} [/mm] ist.
Folglich ist für alle zwei Ringelemente, deren Produkt in [mm] \mathfrak{m} [/mm] liegt, mindestens eins schon in [mm] \mathfrak{m}, [/mm] und damit ist [mm] \mathfrak{m} [/mm] als Primideal nachgewiesen.
Viele Grüße
Basilikum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Sa 01.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi Basilikum
danke für den schönen beweis. ich bin begeistert!
was mich noch interessiern würde, wäre wie man das gegenbeispiel für deinen ersten beweis wählen müsste.
edit: ich ziehe die frage zurück 
grüße
andreas
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