homogenes lineares GLS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 So 11.07.2010 | | Autor: | newneo |
Hallo!
Habe versucht mir zu überlegen, wann ein homogenes lineares Gleichungssystem auch nicht triviale Lösungen besitzt und meine jetzt folgendes:
1. Wenn Rang(A) = Rang(A,b) = n: gibt es genau eine nichttriviale Lösung
2. Wenn Rang(A) = Rang(A,b) [mm] \not= [/mm] n: gibt es unendlich viele nichttriviale Lösungen
Frage: Wann gibt es eigentlich KEINE nichttriviale Lösung?
Bzw. für quadratische lineare Gleichungssysteme gilt:
1. hat genau eine Lösung, wenn det(A) ≠ 0
2. kann unendlich viele Lösungen haben, wenn det(A) = 0 und alle Nebendeterminanten = 0
3. hat keine Lösung, wenn det(A) = 0 und wenn zumindest eine Nebendeterminante ≠ 0
Stimmen meine Interpreattionen und kann man sonst noch Aussagen über die Lösbarkeit von homogenen linearen Gleichungssystemen machen?
Danke!
Lg
Neo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 11.07.2010 | | Autor: | newneo |
> LGS: Ax=b. Wenn die Spalten von A linear unabhängig sind und b=0.
Ok, also es muss ja b=0 gelten, weil ich ja meine Frage auf homogene lineare Gleichungssysteme bezogen habe.
Ich nehme an, dass Du mit "Spalten" eigentlich die Zeilen gemeint hast?
Und wie viele Zeilen müssen dann unabhängig sein? Wenn die Matrix z.B. 3 unbekannte Variablen x1, x2, x3 hat und 8 Zeilen, dann können ja gar nicht alle unabhängig voneinander sein, oder? (weil ich doch jede Matrix zumindest auf Stufenform bringen kann).
Und wenn nur 2 der 8 Zeilen linear unabhängig sind, dann gibt es doch unendlich viele Lösungen.
Wenn genau 3 Zeilen linear unabhängig sind, dann gibt es genau eine Lösung.
Aber, wann gibt es in meinem Beispiel jetzt keine Lösung (außer der trivialen Lösung, die es bei homogenen linearen GLS ja immer gibt)?
Vielleicht verstehe ich es ja auch falsch?
Danke!
Lg
Neo
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Hi,
Wenn du Ax=0 lösen möchtest mit:
[mm] $\pmat{ | & |&| \\ s_1 & s_2 &s_3 \\ |&|&| }\pmat{ x_1 \\ x_2 \\x_3 }=\pmat{ 0\\ 0\\0 } \gdw x_1 \pmat{ | \\ s_1 \\ | } [/mm] + [mm] x_2 \pmat{ | \\ s_2 \\ | } [/mm] + [mm] x_3 \pmat{ | \\ s_3 \\ | }=\pmat{ 0\\ 0\\0 }$
[/mm]
Frage:
Wann gibt es eigentlich KEINE nichttriviale Lösung? [mm] $\gdw$ [/mm] Wann gibt es eigentlich nur die triviale Lösung?
Hier müssen die Spalten [mm] $s_1,s_2,s_3$ [/mm] linear unabhängig sein, damit nur [mm] $x=\pmat{ 0\\ 0\\0 }$ [/mm] eine Lösung des LGS ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 So 11.07.2010 | | Autor: | newneo |
Hallo!
Stimmt. Das habe ich so noch nie gehört, aber das scheint so sein zu müssen. Was ich jetzt nicht weiß: Wie kann man die lineare Unabhängigkeit von SPALTEN zeigen? Indem man einfach die Matrix transponiert und dann auf reduzierte Form (mittels Gauß) bringt? (Wenn [mm] Rang(A^{T}) [/mm] = 1 dann wären ja alle SPALTEN linear abhängig und es gibt offensichtlich auch andere Lösungen als nur die triviale Lösung?
Danke nochmal!
Lg
Neo
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