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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo ihr!
Zur Lösung einer Aufgabe habe ich folgenden Satz gefunden:
Gegeben ein homogens lineares Gleichungssystem durch Ax=0. Ist x eine nichttriviale Lösung des Systems, so ist auch jedes Vielfaches von x eine Lösung.
Ist x' eine weitere Lösung, so bildet auch (x+x') eine Lösung.
Okay, so weit so gut.
Diesen Satz möchte ich nun verwenden. Da ich das aber nicht einfach so machen will sondern wissen warum das so ist habe ich mir folgende kleine Beweisskizze zur Vorarbeit (Beliebiger Körper) überlegt:
1. Ax=0 mit x als Lösung. A(cx) = Acx = cAx=0, auf beiden Seiten mit 1/c multiplizieren liefert erneut Ax=0.
2. Ax=0 mit x als Lösung. A(x+x')= ... ????
Funktioniert das so oder ist das zu simpel und wie könnte ich bei 2. weiter verfahren?
Wäre dankbar eure Hilfe!
Vlg, Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Kübi,
ich weiß jetzt nicht, was ihr voraussetzen könnt. Aber da $A$ linear ist, gilt:
$A(x+x') = Ax +Ax'$
Der Rest ist ok. Zum genauen Nachrechnen kannst du dir ja ein allgemeines lin. Gleichungssystem aufschreiben und es dadurch einmal nachvollziehen: 
[mm] $A(x+x')=\pmat{a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}} (\pmat{x_1 \\ \vdots \\ x_m}+\pmat{x'_1 \\ \vdots \\ x'_m})=...$
[/mm]
Viele Grüße
Astrid
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