homöomorphe Quotientenräume < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Di 28.04.2015 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
meine Frage:
Sind [mm] \IC/N [/mm] und [mm] \IC/N' [/mm] i.A. homöomorph, wenn $ N $ und $ N' $ (Teilmengen von [mm] \IC) [/mm] homöomorph sind?
Könnte man diese Aussage auch weiter verallgemeinern?
Die Frage kam auf, als ich mich mit Quotientenräumen und Homöomorpie näher beschäftigt habe.
Liebe Grüße
Herbart
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Hallo,
verrätst du uns, was [mm] $\IC/N$ [/mm] sein soll? Ich vermute, du betrachtest [mm] $\IC$ [/mm] als topologischen Raum - zumindest das Wort "homöomorph" deutet darauf hin. Für gewöhnlich betrachtet man Quotientenräume bezüglich einer (Äquivalenz)relation, nicht bezüglich einer Teilmenge.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Di 28.04.2015 | | Autor: | Ladon |
Man betrachte [mm] \IC [/mm] in der Tat als topologischen Raum. [mm] $\IC/N:=\{Nx|x\in \IC\} [/mm] $ ist der Orbitalraum mit der Quotiententopologie. Die Orbits sind durch [mm] $Nx:=\{nx|n\in N\} [/mm] $ gegeben. $N $ sollte also eine topologische Gruppe sein, die eine stetige Aktion auf [mm] \IC [/mm] ausübt (mittels Addition).
Viele Grüße
Ladon
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:54 Di 28.04.2015 | | Autor: | Herbart |
Siehe Mitteilung (oben).
Meine Frage von oben ist also weiterhin, ob man im Allgemeinen von einem Homöomorphismus zwischen N und N' auf einen zwischen den zugehörigen Orbitalräumen von [mm] \IC [/mm] schließen kann.
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Meinst du wirklich überall Homöomorphismen, oder sollen die vielleicht auch noch mit der Gruppenstruktur vertraglich sein?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Di 28.04.2015 | | Autor: | Herbart |
Ich meine wirklich einen Homöomorphismus zwischen den beiden Quotientenräumen bzw. zwischen N und N'.
Ich meine keinen Isomorphismus topologischer Gruppen, der ein Gruppenhomomorphismus und gleichzeitig ein Homöomorphismus der zu Grunde liegenden topologischen Räume ist, wenn du auf etwas dergleichen abspielen solltest.
Grüße
Herbart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Mi 06.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mi 29.04.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
Ich bin nicht sicher, ob ich alles richtig verstanden habe, daher überprüft das Folgende bitte kritisch:
> meine Frage:
> Sind [mm]\IC/N[/mm] und [mm]\IC/N'[/mm] i.A. homöomorph, wenn [mm]N[/mm] und [mm]N'[/mm]
> (Teilmengen von [mm]\IC)[/mm] homöomorph sind?
Ich vermute, die Idee für ein Gegenbeispiel zu haben:
[mm] $N:=\IZ$
[/mm]
[mm] $N':=\IZ+i\IZ$.
[/mm]
$N$ und $N'$ sind als abzählbar unendliche diskrete topologische Räume homöomorph.
Nun vermute ich, dass [mm] $\IC/N$ [/mm] homöomorph zu [mm] $S^1\times\IR$ [/mm] (mit der Produkttopologie) ist.
Weiter vermute ich, dass [mm] $\IC/N'$ [/mm] homöomorph zu [mm] $S^1\times S^1$ [/mm] (ebenfalls mit der Produkttopologie) ist.
Wenn meine Vermutungen stimmen, ist [mm] $\IC/N$ [/mm] somit nicht kompakt, aber [mm] $\IC/N'$ [/mm] kompakt.
Also können [mm] $\IC/N$ [/mm] und [mm] $\IC/N'$ [/mm] nicht homöomorph sein.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Mi 29.04.2015 | | Autor: | Herbart |
Also mich überzeugt das 
Vielen Dank!
LG
Herbart
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