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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - holomorphe funktionen
holomorphe funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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holomorphe funktionen: holomorphe funktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 Mo 17.01.2011
Autor: mathefreak..

Aufgabe
finde alle holomorphen funktionen für die gilt:
Betrag von f(z) kleinergleich betrag von z

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!

Ich habe folgendes Problem. Ich soll alle holomorphen Funktionen finden die folgendes erfüllen: f: C-> C
betrag von f(z) kleinergleich betrag von z

Kann mir jemand bei der Lösung des Problemes helfen?
Ich weiß nicht wirklich wie man das angeht, da ich aus der Vorlesung gerade mal weiß, dass eine holomorphe Funktion komplex diffbar sein muss.

Lg Mathefreak

        
Bezug
holomorphe funktionen: holomorphe funktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Mo 17.01.2011
Autor: mathefreak..

Also ich hab mir jetzt irgendwie gedacht dass f(z) = c * betrag von z eine holomorphe Funktion wäre wenn der betrag von c kleiner gleich 1 ist.
stimmt die  Behauptung? Wenn ja wie kann ich diese beweisen und gibt es noch mehr Funktionen die die Gleichung erfüllen?

Bezug
                
Bezug
holomorphe funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:20 Di 18.01.2011
Autor: fred97


> Also ich hab mir jetzt irgendwie gedacht dass f(z) = c *
> betrag von z eine holomorphe Funktion wäre


Wenn Du f(z)=c*|z|, meinst, so ist das nur für c=0 eine holomorphe Funktion !

Der komplexe Betrag ist nicht holomorph !

FRED

> wenn der betrag
> von c kleiner gleich 1 ist.
> stimmt die  Behauptung? Wenn ja wie kann ich diese beweisen
> und gibt es noch mehr Funktionen die die Gleichung
> erfüllen?


Bezug
        
Bezug
holomorphe funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Di 18.01.2011
Autor: fred97


> finde alle holomorphen funktionen für die gilt:
>  Betrag von f(z) kleinergleich betrag von z
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Hallo!
>  
> Ich habe folgendes Problem. Ich soll alle holomorphen
> Funktionen finden die folgendes erfüllen: f: C-> C
>  betrag von f(z) kleinergleich betrag von z
>  
> Kann mir jemand bei der Lösung des Problemes helfen?
>  Ich weiß nicht wirklich wie man das angeht, da ich aus
> der Vorlesung gerade mal weiß, dass eine holomorphe
> Funktion komplex diffbar sein muss.


Es gibt mehrere Möglichkeiten, je nach Kenntnisstand.

z:B.: Sei f eine ganze Funktion und |f(z)| [mm] \le [/mm] |z| für jedes z [mm] \in \IC. [/mm]


Wegen f(0)=0, gibt es eine ganze Funktion g mit

                       f(z)=zg(z).

Wegen  |f(z)| [mm] \le [/mm] |z| für jedes z [mm] \in \IC [/mm]  folgt: |g(z)| [mm] \le [/mm] 1 jedes z [mm] \in \IC. [/mm]

Jetzt bemühe den Satz von Liouville.

FRED

>  
> Lg Mathefreak  


Bezug
                
Bezug
holomorphe funktionen: holomorphe funktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:33 Di 18.01.2011
Autor: mathefreak..

Hallo!
Danke für die Antwort..heißt das das die Funktion c*z dann holomorph wäre für Betrag c kleinergleich 1?

Der Satz  von Leouville besagt ja dass jede beschränkte, holomorphe Funktion konstant ist oder?

Das die Funktion beschränkt ist sehe ich daran, dass g(z) jetzt kleinergleich 1 sein soll..somit ist die Funktion nach oben beschränkt..0 muss dann die untere Schranke sein..liege ich damit richtig?

Kann ich aus beschränkt auch auf holomorph folgern?

lg

Bezug
                        
Bezug
holomorphe funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Di 18.01.2011
Autor: fred97


> Hallo!
>  Danke für die Antwort..heißt das das die Funktion c*z
> dann holomorph wäre für Betrag c kleinergleich 1?

Ja

>  
> Der Satz  von Leouville

         Liouville   !!!

> besagt ja dass jede beschränkte,
> holomorphe Funktion konstant ist oder?

Es fehlt "ganz": jede beschränkte ganze holomorphe Funktion ist beschränkt

>  
> Das die Funktion beschränkt ist sehe ich daran, dass g(z)
> jetzt kleinergleich 1 sein soll..

Nein. Das folgt aus |g(z)| [mm] \le [/mm] 1 für jedes z [mm] \in \IC [/mm]


> somit ist die Funktion
> nach oben beschränkt..0 muss dann die untere Schranke
> sein..liege ich damit richtig?

Nein. Was soll den in [mm] \IC [/mm] "nach oben (unten) beschränkt" bedeuten ?????

>  
> Kann ich aus beschränkt auch auf holomorph folgern?

Nein.


FRED

>  
> lg


Bezug
                                
Bezug
holomorphe funktionen: Re Antwort
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:17 Di 18.01.2011
Autor: mathefreak..

Wie kann ich dass dann mit dem Satz beweisen? Wenn ich jetzt weiß dass meine Funktion beschränkt ist sagt mir dass ja dann noch immer nichts über holomorph aus...wenn jede beschränkte ganze holomorphe funktion konstant ist?
Was sagt mir diese Aussage?
lg

Bezug
                                        
Bezug
holomorphe funktionen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Do 20.01.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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