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hi, ich habe eine wichtige Frage zu einem Satz mit Erläuterung:
Genau dann sind f und g Lösungen der gleichen Nullstellenverteilung, falls eine ganze Funktion h existiert, mit: [mm] \( [/mm] f = [mm] e^{h} [/mm] g [mm] \).
[/mm]
[mm] \\ \\
[/mm]
Man denkt sich nun eine Lösung f der Verteilung [mm] \( [/mm] N = [mm] \{(a, n_{a})\} \) [/mm] als [mm] gegeben.\\
[/mm]
So ist [mm] \( [/mm] f(z) = [mm] (z-a)^{n_a} g_{a}(z) \), \( g_{a} \) [/mm] ist eine ganze Funktion mit [mm] \( g_{a}(a) \not= [/mm] 0 [mm] \).
[/mm]
[mm] \\Bei [/mm] Differentiation und Division durch f erhält man:
[mm] \begin{displaymath}
\frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{n_{a} (z-a)^{n_{a}-1} g_{a}(z)}{(z-a)^{n_{a}} g_{a}(z)} + \frac{(z-a)^{n_{a}} g_{a}'(z)}{(z-a)^{n_{a}} g_{a}(z)} = \frac{n_{a}}{z-a} + h_{a}(z)
\end{displaymath}
[/mm]
[mm] \( h_{a} \) [/mm] ist im Punkt a holomorph und im "ubrigen meromorph.
Meine Frage bezieht sich auf die Feststellung, dass der es im Punkt a holomorph und im übrigen meromorph ist.
woran kann ich das sehen???
bitte erläutert es mir!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 So 10.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hi, ich habe eine wichtige Frage zu einem Satz mit
> Erläuterung:
>
> Genau dann sind f und g Lösungen der gleichen
> Nullstellenverteilung, falls eine ganze Funktion h
> existiert, mit: [mm]\([/mm] f = [mm]e^{h}[/mm] g [mm]\).[/mm]
> [mm]\\ \\[/mm]
> Man denkt sich nun eine Lösung f der Verteilung
> [mm]\([/mm] N = [mm]\{(a, n_{a})\} \)[/mm] als [mm]gegeben.\\[/mm]
> So ist [mm]\([/mm] f(z) = [mm](z-a)^{n_a} g_{a}(z) \), \( g_{a} \)[/mm] ist
> eine ganze Funktion mit [mm]\( g_{a}(a) \not=[/mm] 0 [mm]\).[/mm]
> [mm]\\Bei[/mm] Differentiation und Division durch f erhält man:
> [mm]\begin{displaymath}
\frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{n_{a} (z-a)^{n_{a}-1} g_{a}(z)}{(z-a)^{n_{a}} g_{a}(z)} + \frac{(z-a)^{n_{a}} g_{a}'(z)}{(z-a)^{n_{a}} g_{a}(z)} = \frac{n_{a}}{z-a} + h_{a}(z)
\end{displaymath}[/mm]
>
> [mm]\( h_{a} \)[/mm] ist im Punkt a holomorph und im "ubrigen
> meromorph.
>
> Meine Frage bezieht sich auf die Feststellung, dass der es
> im Punkt a holomorph und im übrigen meromorph ist.
> woran kann ich das sehen???
Es ist doch [mm] $h_a(z) [/mm] = [mm] \frac{g_a'(z)}{g_a(z)}$, [/mm] also ein Quotient aus zwei holomorphen Funktionen. Damit ist die Funktion meromorph. In $a$ selber ist [mm] $g_a(z) \neq [/mm] 0$, womit die Funktion dort keinen Pol hat. Also ist sie dort holomorph.
LG Felix
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