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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Do 05.02.2009 | | Autor: | jojo1484 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie alle Extrem- und Wendestellen der Funktion [mm] f(x)=e^\bruch{-x²}{2} (x\in \IR). [/mm] Die Klassifizierung in Minimal-, Maximal- und Wendestelle muss mit einer Rechnung belegt werden. |
So jetzt muss ich ja um die Extremstellen zu ermitteln zuerst mal die Gleichung ableiten.
Die erste Ableitung ist: f'(x) = [mm] -x*e^\bruch{-x²}{2}
[/mm]
so und nun wirds irgendwie für mich schwierig. Bei der 2. Ableitung, muss ich ja zuerst die Kettenregel und dann die Produktregel anwenden. Oder stimmt das nicht? Nur ist für mich nicht klar, wende ich die Kettenregel für
[mm] u=\bruch{-x²}{2} [/mm] so an:
f'(x) = [mm] -x*e^u [/mm] v=-x [mm] w=e^u
[/mm]
oder muss ich auf die folgende Gleichung die Produktregel anwenden?:
[mm] f'(x)=-x*(-x*e^\bruch{-x²}{2})
[/mm]
Aber das würd ja nicht gehen, sonst hätte ich ja in der Klammer wieder ein Produkt ????
Wär echt froh wenn mir jemand helfen könnte.
Danke. Grüße Jojo
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Hallo jojo!
> Die erste Ableitung ist: f'(x) = [mm]-x*e^\bruch{-x²}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]u=\bruch{-x²}{2}[/mm] so an:
> f'(x) = [mm]-x*e^u[/mm] v=-x [mm]w=e^u[/mm]
So ist es richtig ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Do 05.02.2009 | | Autor: | jojo1484 |
Super, dann habe ich jetzt die 2. Ableitung, welche hoffentlich lautet:
[mm] f''(x)=(x²*e^\bruch{-x²}{2})-e^\bruch{-x²}{2}
[/mm]
jetzt benötige ich nur noch die 3. Ableitung f'''(x)
Diese kann ich mit der Summenregel machen oder?
[mm] f''(x)=(x²*e^u)-e^u [/mm]
[mm] v=(x²*e^u) [/mm]
[mm] w=e^u
[/mm]
muss ich dann v nochmals mit der Produktregel berechnen?
wie muss die 3. Ableitung denn am Ende ungefähr aussehen?
vielen dank für die Hilfe. Jojo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Do 05.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Super, dann habe ich jetzt die 2. Ableitung, welche
> hoffentlich lautet:
>
> [mm]f''(x)=(x²*e^\bruch{-x²}{2})-e^\bruch{-x²}{2}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> jetzt benötige ich nur noch die 3. Ableitung f'''(x)
>
> Diese kann ich mit der Summenregel machen oder?
>
> [mm]f''(x)=(x²*e^u)-e^u[/mm]
Yep. Aber für den grünen Teil brauchst du die Produkt und Kettenregel, für den blauen die Kettenregel
[mm] f''(x)=\green{(x²\cdot{}e^\bruch{-x²}{2})}-\blue{e^\bruch{-x²}{2}}
[/mm]
Sinnvoller ist, erst einmal auszuklammmern.
Also:
[mm] f''(x)=(x²\cdot{}e^\bruch{-x²}{2})-e^\bruch{-x²}{2}
[/mm]
[mm] =(x²-1)*e^\bruch{-x²}{2}
[/mm]
Dabei brauchst du zwar auch die Kombination aus Produkt- und Kettenregel ,aber eben nur einmal. Dieses Ausklammern bietet sich bei e-Funktionen eigentlich fast immer an, da es einiges an Rechnerei erspart.
>
> [mm]v=(x²*e^u)[/mm]
> [mm]w=e^u[/mm]
>
> muss ich dann v nochmals mit der Produktregel berechnen?
> wie muss die 3. Ableitung denn am Ende ungefähr aussehen?
Das finde mal mit den Tipps selber heraus, nur soviel:
[mm] f'''(x)=e^\bruch{-x²}{2}*(...)
[/mm]
>
> vielen dank für die Hilfe. Jojo
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Do 05.02.2009 | | Autor: | jojo1484 |
Die 3. Ableitung müsste nun also sein:
[mm] f'''(x)=e^\bruch{-x²}{2}*(3x-x³)
[/mm]
Nun muss ich die waagrechten Tangenten der Funktion suchen, indem ich f'(x)=0 setzte:
[mm] f'(x)=-x*e^\bruch{-x²}{2}
[/mm]
Diese Funktion wird nur Null, wenn -x = 0, da die e-Funktion niemals 0 wird. Erhalte ich also nur die Nullstell x1=0 an welcher f(x) eine waagrechte Tangente besitzt.
Tiefpunkt/Hochpunkt gilt: [mm] f''(x)\not=0
[/mm]
Setze ich meine 0 ein und erhalte:
f''(x)=(0²-1)*1 = -1 --> Hochpunkt
Wendestelle gilt: [mm] f'''(x)\not=0
[/mm]
Setzte ich meine 0 ein und erhalte:
1*(3*0-0³) = 0 --> keine Wendestelle
Habe ich diese Aufgabe jetzt endlich korrekt gelöst?
vielen Dank für Eure Hilfe.
Gruß Jojo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Do 05.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Die 3. Ableitung müsste nun also sein:
>
> [mm]f'''(x)=e^\bruch{-x²}{2}*(3x-x³)[/mm]
Das ist korrekt.
>
> Nun muss ich die waagrechten Tangenten der Funktion suchen,
> indem ich f'(x)=0 setzte:
>
> [mm]f'(x)=-x*e^\bruch{-x²}{2}[/mm]
>
> Diese Funktion wird nur Null, wenn -x = 0, da die
> e-Funktion niemals 0 wird. Erhalte ich also nur die
> Nullstell x1=0 an welcher f(x) eine waagrechte Tangente
> besitzt.
Nenn das ganze nicht Nullstelle, sondern Extremstelle, dann passt es.
>
> Tiefpunkt/Hochpunkt gilt: [mm]f''(x)\not=0[/mm]
> Setze ich meine 0 ein und erhalte:
>
> f''(x)=(0²-1)*1 = -1 --> Hochpunkt
Auch das ist korrekt. Wenn du jetzt noch die y-Koordinate berechnest, mit f(0)=...
>
> Wendestelle gilt: [mm]f'''(x)\not=0[/mm]
> Setzte ich meine 0 ein und erhalte:
> 1*(3*0-0³) = 0 --> keine Wendestelle
Der Ansatz ist nicht ganz korrekt. Mit [mm] f''(x_{w})=0 [/mm] ergibt sich:
[mm] (x_{w}^{2}-1)\cdot{}e^\bruch{-x_{w}^{2}}{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{w}=\pm1
[/mm]
Jetzt Prüfe mal, ob [mm] x_{w}=1 [/mm] und [mm] x_{w}=-1 [/mm] Wendestellen sind.
>
> Habe ich diese Aufgabe jetzt endlich korrekt gelöst?
>
> vielen Dank für Eure Hilfe.
>
> Gruß Jojo
>
Marius
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