hermitescher Operator < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mi 20.07.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
ich habe eine kurze Frage zum hermiteschen Operator. Auf wiki wirde gezeigt, dass dessen Eigenwerte reell sind:
$a = [mm] a\langle\varphi [/mm] | [mm] \varphi\rangle [/mm] = [mm] \langle\varphi [/mm] | A [mm] \varphi\rangle [/mm] = [mm] \langle\varphi [/mm] |A| [mm] \varphi\rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] A [mm] \varphi [/mm] | [mm] \varphi\rangle [/mm] = [mm] a^{*} \langle\varphi [/mm] | [mm] \varphi\rangle [/mm] = a^* $
Ich verstehe nicht, warum [mm] $\langle\varphi [/mm] | A [mm] \varphi\rangle [/mm] = [mm] \langle\varphi [/mm] |A| [mm] \varphi\rangle$ [/mm] gilt. Ich dachte eigentlich [mm] $a|\varphi\rangle=|a\varphi\rangle$ [/mm] gilt nur für Skalare und nicht für Operatoren?
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Do 21.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine kurze Frage zum hermiteschen Operator. Auf
> wiki wirde gezeigt, dass dessen Eigenwerte reell sind:
> [mm]a = a\langle\varphi | \varphi\rangle = \langle\varphi | A \varphi\rangle = \langle\varphi |A| \varphi\rangle = \langle A \varphi | \varphi\rangle = a^{*} \langle\varphi | \varphi\rangle = a^*[/mm]
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> Ich verstehe nicht, warum [mm]\langle\varphi | A \varphi\rangle = \langle\varphi |A| \varphi\rangle[/mm]
> gilt.
Auf Wiki findet man auch:
"Operatoren, bei denen die Gleichung [mm] {(\langle\psi|A)|\varphi\rangle = \langle\psi|(A|\varphi\rangle)} [/mm] für alle ket-Vektoren [mm] |\varphi\rangle [/mm] und zugehörigen konjugierten bra-Vektoren [mm] \langle\varphi| [/mm] richtig ist, nennt man symmetrisch, manchmal auch hermitesch."
Ich zeigs Dir mal in einer mir etwas mehr vertrauten Schreibweise.
Dazu sei H ein (komplexer) Hilbertraum und $A:H [mm] \to [/mm] H$ ein hermitescher Operator, es gilt also [mm] $A=A^{\star}$. [/mm] Mit (*|*) bez. ich das Innenprodukt auf H.
Ist a ein Eigenwert von A, so gibt es ein x [mm] \in [/mm] H mit $||x||=1$ und Ax=ax.
Dann:
[mm] $a=a*1=a*||x||^2= a(x|x)=(ax|x)=(Ax|x)=(x|A^{\star}x)=(x|Ax)=(x|ax)=\overline{a}(x|x)=\overline{a}*||x||^2=\overline{a}*1=\overline{a}$
[/mm]
FRED
> Ich dachte eigentlich
> [mm]a|\varphi\rangle=|a\varphi\rangle[/mm] gilt nur für Skalare und
> nicht für Operatoren?
>
> Gruß,
>
> notinX
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