hermitesche Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mi 13.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich soll zeigen, dass eine hermitesche Matrix ausschließlich reelle Eigenwerte besitzt. Aber da fällt mir ein Beispiel ein, wo es eigentlich nicht der Fall wäre. Vielleicht kann mir jemand helfen.
[mm] A=\pmat{i&0\\0&1} [/mm] Diese Matrix ist doch symmetrisch, da [mm] A=A^T [/mm] bzw. A=A^* (für komplexe Matrix)
Hier gilt doch für das charak. Polynom: P(t)=(i-t)*(1-t)
Für die Nullstellen (=Eigenwerte) ergibt sich somit t=i und t=1. Aber i ist ja nicht reell??? Was hab ich da jetzt falsch gemacht??
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Holger!
Das liegt einfach daran, dass deine Matrix nicht hermitesch ist.
Es muss nämlich
$A = [mm] A^{\*} [/mm] = [mm] \bar{A}^T$
[/mm]
gelten.
Aber das Element an der Stelle $(1,1)$ ist bei der linken Matrix gleich $i$, und bei der rechten gleich $-i$.
Viele Grüße
Julius
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