hebbare Singularität < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 So 08.01.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | | Geben Sie eine Funktion mit 2 hebbaren und 2 nicht hebbaren Singularitäten an. |
Nun ins unserem Skript ist beschrieben was hebbar heißt:
"Sei [mm] x_0 \in [/mm] A Häufungspunkt von A.
f besitzt in [mm] x_0 [/mm] eine hebbare Unstetigkeit: [mm] \gdw [/mm] f unstetig in [mm] x_0 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrowx_0}f(x) [/mm] existiert."
Was heißt Singularität? Und wie gehe ich an das Bsp. heran?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Geben Sie eine Funktion mit 2 hebbaren und 2 nicht hebbaren
> Singularitäten an.
> Nun ins unserem Skript ist beschrieben was hebbar heißt:
>
> "Sei [mm]x_0 \in[/mm] A Häufungspunkt von A.
> f besitzt in [mm]x_0[/mm] eine hebbare Unstetigkeit: [mm]\gdw[/mm] f
> unstetig in [mm]x_0[/mm] und [mm]\limes_{x\rightarrowx_0}f(x)[/mm]
> existiert."
Und eine nicht hebbare Singularitaet ist dann eine Unstetigkeitsstelle, die nicht hebbar ist?
> Was heißt Singularität? Und wie gehe ich an das Bsp. heran?
Nun, eine Singularitaet ist eine Stelle, wo die Funktion nicht 'schoen' ist. (Was schoen ist, haengt vom Kontext ab, hier ist es Stetigkeit.) Schau dir zum Beispiel die Funktion $f(x) = x$ fuer $x [mm] \neq [/mm] 0$ und $f(0) = 1$ an: diese ist ueberall schoen, nur im Punkt $x = 0$ hat sie einen Ausreisser. Das ist uebrigens ein Beispiel fuer eine hebbare Singularitaet: der Grenzwert [mm] $\lim_{x\to0} [/mm] f(x)$ existiert und ist gleich $0$. Hebbar heisst, dass du, wenn du eine neue Funktion $g(x)$ definierst mit $g(x) := f(x)$ fuer $x [mm] \neq [/mm] 0$ und $g(0) := [mm] \lim_{x\to0} [/mm] f(x)$, dass $g$ dann in $x = 0$ keine Singularitaet mehr hat.
Eine nicht hebbare Singularitaet ist zum Beispiel durch $f(x) = 1/x$, $x [mm] \neq [/mm] 0$ und $f(0) = 1$ gegeben. Wenn du dir d stetig ist.en Graphen aufmalst siehst du schnell was passiert: Die Funktion ist in $x = 0$ nicht stetig, und selbst wenn du $f(0)$ abaenderst, stetig wird das nie!
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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