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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 So 09.10.2011 | | Autor: | froggy60 |
| Aufgabe | | lim [mm] \bruch{1}{n}=\infty [/mm] ODER lim [mm] \bruch{1}{n} [/mm] existiert nicht |
hallo! bin grade in zwei Büchern (bzw Skript und Buch) auf zwei seeehr unterschiedliche Informationen zur harmonischen Reihe gestoßen. Der eine behauptet der lim wäre [mm] \infty [/mm] der andere es gäbe keinen lim. Was ist denn nun richtig? Einer muss ja wohl komplett daneben liegen. Ich weiß, dass die Reihe divergent ist und somit keinen Grenzwert besitzt. Aber ist [mm] \infty [/mm] nicht auch irgendwie kein Grenzwert?
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Website gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 So 09.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> lim [mm]\bruch{1}{n}=\infty[/mm] ODER lim [mm]\bruch{1}{n}[/mm] existiert
> nicht
>
> hallo! bin grade in zwei Büchern (bzw Skript und Buch) auf
> zwei seeehr unterschiedliche Informationen zur harmonischen
> Reihe gestoßen. Der eine behauptet der lim wäre [mm]\infty[/mm]
> der andere es gäbe keinen lim. Was ist denn nun richtig?
> Einer muss ja wohl komplett daneben liegen.
Beide haben Recht. Es ist einfach eine Frage der Notation. Wenn man definiert, was es bedeutet dass der Grenzwert [mm] $\infty$ [/mm] (bzw. [mm] $-\infty$) [/mm] ist, dann stimmt die erste Aussage. Definiert man es nicht und will, dass der Grenzwert eine reelle (oder komplexe) Zahl ist, dann stimmt die zweite Aussage.
Manche Leute sagen "die Reihe/Folge konvergiert gegen unendlich", andere "die Reihe/Folge divergiert gegen unendlich".
> Ich weiß, dass
> die Reihe divergent ist und somit keinen Grenzwert besitzt.
> Aber ist [mm]\infty[/mm] nicht auch irgendwie kein Grenzwert?
Wie gesagt, das kann man definieren wie man will. Und in den Uebungen/der Klausur solltest du es so machen, wie das in der Vorlesung drankam :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 So 09.10.2011 | | Autor: | froggy60 |
Kann es sein, dass es dass es dann auch den Fall lim [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = 0 gibt?(laut Wikipedia) Woher weiß ich dann wann es 0 wann [mm] \infty [/mm] ist?
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Hallo froggy,
so, wie Du es schreibst, existiert weder der Grenzwert, nach dem Du in Deinem ersten Post fragst, noch dieser hier:
> Kann es sein, dass es dass es dann auch den Fall lim
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] = 0 gibt?(laut Wikipedia) Woher weiß ich dann
> wann es 0 wann [mm]\infty[/mm] ist?
Der Grenzwert könnte auch genau 0,01 sein, nämlich für [mm] n\to{100}.
[/mm]
Solange Du nicht angibst, wogegen n eigentlich strebt, sind die Angaben zum Grenzwert unvollständig und die Aufgabe ist nicht lösbar.
Wenn man [mm] (+)\infty [/mm] als Erweiterung der natürlichen oder auch der reellen Zahlen zulässt, sind folgende Aussagen alle wahr:
für [mm] n\in\IN [/mm] oder [mm] n\in\IR:
[/mm]
[mm] \lim_{n\to \infty}\bruch{1}{n}=0
[/mm]
für [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] \lim_{n\to \infty}\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}=\infty
[/mm]
für [mm] n\in\IR:
[/mm]
[mm] \lim_{n\to 0}\bruch{1}{n}=\infty
[/mm]
Grüße
reverend
PS: Übrigens ist die Erweiterung des Zahlenraums durch [mm] \pm\infty [/mm] hilfreich, um z.B. eine andere Aussage zu treffen als die über das Verhalten dieser beiden Folgen:
Sei [mm] n\in\IN.
[/mm]
1) [mm] a_n=(-1)^n;\quad \lim_{n\to\infty}a_n=???
[/mm]
2) [mm] b_n=\sin{(n)};\quad \lim_{n\to\infty}b_n=???
[/mm]
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