harmonische Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Fr 26.06.2009 | | Autor: | ANTONIO |
| Aufgabe | zur Harmonischen Reihe s = 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}+ [/mm] ....: Frage: [mm] \limes_{n \to \infty}(s_m -s_n) [/mm] = ? mit m = [mm] b\*n [/mm] und b [mm] \in\IN, [/mm] b [mm] \ge [/mm] 2
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Hallo,
in Königsberger, Analysis 1 wird bewiesen, daß die harmonische Reihe divergiert. Mir ist aufgefallen, daß für n= 100, 1000, 10000 usw bis zu n= 1.000.000 s jeweils um circa 2,3025 wächst und ich frage mich ob es dazu einen "Grenzwert" bzgl. des "Wachstums" von s gibt oder ob auch die Differenz von [mm] s_m -s_n [/mm] divergiert mit m = [mm] 10\*n. [/mm] Wählt man als Basis 2 statt 10 wächst s für n= 64, 128, 256 usw bis n= 1.048.576 jeweils um circa 0,6931. Allgemein formuliert frage ich mich: divergiert oder konvergiert (ggbf. wogegen) [mm] s_m -s_n [/mm] mit m = [mm] b\*n?
[/mm]
Beim Formulieren der Frage kam mir die Idee, daß ich aus dem Konvergenzkriterium von Cauchy schließen kann, daß - da s divergiert - es keinen Grenzwert a geben kann, da für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 gilt [mm] s_m -s_n [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] (also auch für [mm] \epsilon [/mm] < a) für alle n,m > N, also auch für n,m mit m = [mm] 10\*n. [/mm] Stimmt das ?
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Du könntest [mm] s_m-s_n [/mm] nach oben und unten abschätzen:
[mm]\summe_{i=1}^{b*n}\bruch{1}{i}-\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i}
= \summe_{i=n+1}^{b*n}\bruch{1}{i}[/mm]
Die Summe kannst du jetzt in beide Richtungen abschätzen:
[mm](b*n-n)* \bruch{1}{b*n} \le \summe_{i=n+1}^{b*n}\bruch{1}{i} \le (b*n-n)* \bruch{1}{n+1}[/mm]
[mm]\gdw 1-\bruch{1}{b} \le \summe_{i=n+1}^{b*n}\bruch{1}{i} \le \bruch{n*(b-1)}{n+1}[/mm]
[mm]\gdw 1-\bruch{1}{b} \le \summe_{i=n+1}^{b*n}\bruch{1}{i} \le \bruch{b-1}{1+\bruch{1}{n}} \le b-1 [/mm]
Damit wird also klar:
Für ein festes b [mm] \ge [/mm] 2 ist solch eine Teilsumme immer größer als ein konstanter Wert, d.h. die Gesamtsumme muss divergieren, aber die Teilsumme selbst lässt sich ebenfalls durch eine feste Zahl nach oben abschätzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Fr 26.06.2009 | | Autor: | ANTONIO |
> Du könntest [mm]s_m-s_n[/mm] nach oben und unten abschätzen:
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> [mm]\summe_{i=1}^{b*n}\bruch{1}{i}-\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i}
= \summe_{i=n+1}^{b*n}\bruch{1}{i}[/mm]
das verstehe ich noch aber
>
> Die Summe kannst du jetzt in beide Richtungen abschätzen:
> [mm](b*n-n)* \bruch{1}{b*n} \le \summe_{i=n+1}^{b*n}\bruch{1}{i} \le (b*n-n)* \bruch{1}{n+1}[/mm]
wieso ist das so?
>
> [mm]\gdw 1-\bruch{1}{b} \le \summe_{i=n+1}^{b*n}\bruch{1}{i} \le \bruch{n*(b-1)}{n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw 1-\bruch{1}{b} \le \summe_{i=n+1}^{b*n}\bruch{1}{i} \le \bruch{b-1}{1+\bruch{1}{n}} \le b-1[/mm]
>
> Damit wird also klar:
> Für ein festes b [mm]\ge[/mm] 2 ist solch eine Teilsumme immer
> größer als ein konstanter Wert, d.h. die Gesamtsumme muss
> divergieren, aber die Teilsumme selbst lässt sich ebenfalls
> durch eine feste Zahl nach oben abschätzen.
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Die Ungleichungskette folgt aus
[mm] \underbrace{\bruch{1}{bn}+\bruch{1}{bn}+...+\bruch{1}{bn}}_{(bn-n)-mal} \le \underbrace{\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}+...+\bruch{1}{bn}}_{\text{die Summe}} \le \underbrace{\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+1}+...+\bruch{1}{n+1}}_{(bn-n)-mal}, [/mm] da [mm] \bruch{1}{bn} [/mm] der kleinste und [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] der größte Summand ist, der dort auftritt.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Fr 26.06.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Danke, verstanden !
Antonio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Sa 27.06.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo weightgainer,
vielen Dank für Deine klasse Lösung.
Ich verstehe sie, verstehe aber leider nicht, was an meiner Argumentation im letzten Absatz meiner Frage bzgl. Cauchy-Konvergenzkriterium falsch ist.
Kann man außerdem den Grenzwert für [mm] s_m [/mm] - [mm] s_n [/mm] noch besser abschätzen (z.B, für b= 10 müßte eigentlich etwas < 3 herauskommen) oder sogar genau bestimmen? Ich bin auf keine Lösung gekommen.
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Zum Grenzwert hab ich mir keine Gedanken gemacht - aber den Denkfehler im ersten Post kann ich vielleicht verdeutlichen (extra ohne Formeln):
Cauchy sagt, dass du ein N findest, so dass für alle n und m, die größer sind, die entsprechenden Folgenglieder so nahe beieinander liegen, wie du das vorgibst, wobei deine Vorgabe egal sein darf.
In deinem Fall findest du jetzt für ein spezielles m heraus, dass sich die Folgeglieder um weniger als eine Zahl unterscheiden, aber andererseits unterscheiden sie sich immer um mehr als eine feste Zahl. Wenn du also jetzt ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vorgibst, das kleiner ist als diese Zahl, dann wird der Abstand der beiden Folgeglieder niemals so klein werden können.
Aber selbst wenn das ginge - dann hättest du nur für ein spezielles m herausgefunden, dass es geht, aber noch lange nicht, dass es für alle geht. Wenn die Folge nicht konvergiert, heißt es aber nicht, dass es nicht auch für manche n und m so sein kann, dass sich die Folgeglieder um beliebig wenig unterscheiden. Wenn du bei der harmonischen Reihe einfach zwei aufeinander folgende Folgenglieder anschaust, dann unterscheiden die sich um [mm] \bruch{1}{n+1}, [/mm] was ja beliebig klein werden kann. Aber das macht die Folge trotzdem nicht konvergent  .
Tipp zur Grenzwertberechnung:
Ermittle doch durch Einsetzen (mit PC/CAS-Rechner oder so) mal für einige Zahlen (für b) die Werte. Vielleicht kannst du dann etwas "raten" und dann durch eine Rechnung nachweisen.
Ansonsten kannst du hier evtl. von anderen noch clevere Tipps zum Umformen einer solchen Summe bekommen, da hab ich so spontan keine gute Idee (und gerade auch keine Energie zum nachdenken darüber).
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