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große Potenz einer im. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Sa 09.07.2011
Autor: peter_k

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] z^{4500} [/mm] für [mm] z=\bruch{1}{2}+i\bruch{1}{2} \wurzel{3} [/mm]

Hallo, ich komme irgendwie nicht darauf, wie ich diese Aufgabe lösen könnte. Habe schonmal eine ähnliche Aufgabe gehabt aber mit natürlichen Zahlen und einer großen Wurzel statt der Potenz. Diese Aufgabe hier löst man bestimmt auch am besten mit modulo, oder?
Danke schonmal für Tips.
Peter
        
Bezug
große Potenz einer im. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Sa 09.07.2011
Autor: felixf

Moin Peter!

> Berechnen Sie [mm]z^{4500}[/mm] für [mm]z=\bruch{1}{2}+i\bruch{1}{2} \wurzel{3}[/mm]
>  
> Hallo, ich komme irgendwie nicht darauf, wie ich diese
> Aufgabe lösen könnte. Habe schonmal eine ähnliche
> Aufgabe gehabt aber mit natürlichen Zahlen und einer
> großen Wurzel statt der Potenz. Diese Aufgabe hier löst
> man bestimmt auch am besten mit modulo, oder?
> Danke schonmal für Tips.

Rechne erstmal [mm] $z^3$ [/mm] aus. Da kommt etwas sehr schoenes heraus :-)

LG Felix

Bezug
                
Bezug
große Potenz einer im. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Sa 09.07.2011
Autor: peter_k

Hi Felix, danke für deine Antwort!

Hmm, also da bekomme ich raus: [mm] z^3=\bruch{1}{4}(-7+i\wurzel{3}) [/mm]

Aber ich sehe da jetzt keinen Zusammenhang zur Aufgabe. Habe ich mich einfach verrechnet, oder checke ichs einfach nicht? :-)
Bezug
                        
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große Potenz einer im. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 Sa 09.07.2011
Autor: notinX

Hallo,

> Hi Felix, danke für deine Antwort!
>  
> Hmm, also da bekomme ich raus:
> [mm]z^3=\bruch{1}{4}(-7+i\wurzel{3})[/mm]

das stimmt nicht. Wäre es nicht auch seltsam, wenn felixf das als als 'sehr schoen' bezeichnen würde ;-)

>  
> Aber ich sehe da jetzt keinen Zusammenhang zur Aufgabe.
> Habe ich mich einfach verrechnet, oder checke ichs einfach
> nicht? :-)

Da kommt eine Zahl raus, die sich sehr leicht potenzieren lässt. Der Trick besteht dann in der Anwendung der Potenzgesetze:
[mm] $z^{4500}=(z^3)^{1500}$ [/mm]

Alternativ könntest Du auch die Polarform der Zahl bestimmen und davon die Potenz berechnen. Das könnte sogar fast noch schneller gehen (wenn man einen Taschenrechner benutzen darf um die sin- und cos-Werte zu bestimmen), da man dann die dritte Potenz nicht ausrechnen muss.

Gruß,

notinX
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große Potenz einer im. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 Sa 09.07.2011
Autor: peter_k

Aaah, ich glaube jetzt hab ichs :-)
Da kommt -1 raus oder?
Und dann: (-1)^1500=1
Richtig?

Tausend Dank!!
Bezug
                                        
Bezug
große Potenz einer im. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Sa 09.07.2011
Autor: notinX


> Aaah, ich glaube jetzt hab ichs :-)
> Da kommt -1 raus oder?

Wenn Du die dritte Potenz meinst, ja.

>  Und dann: (-1)^1500=1
> Richtig?

Ja.

>  
> Tausend Dank!!  

Gerne
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Bezug
große Potenz einer im. Zahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 Sa 09.07.2011
Autor: felixf

Moin Peter,

> Berechnen Sie [mm]z^{4500}[/mm] für [mm]z=\bruch{1}{2}+i\bruch{1}{2} \wurzel{3}[/mm]

ein allgemeiner Tipp zu solchen Aufgaben: erst den Betrag ausrechnen. Der ist hier 1, also handelt es sich vermutlich um eine Einheitswurzel. Dass es eine dritte oder sechste Einheitswurzel ist kann man sich denken wenn man weiss, fuer welche [mm] $\phi$ $\cos(\phi)$ [/mm] und [mm] $\sin(\phi)$ [/mm] "schoene" Ergebnisse liefern.

Und falls es sich um keine schoene Zahl handeln sollte: berechne zuerst das Minimalpolynom $f(X)$, und dann berechne [mm] $X^{4500}$ [/mm] modulo dem Minimalpolynom durch die []Methode Quadrieren und Multiplizieren. Schliesslich ersetzt du $X$ wieder durch die Zahl und Vereinfachst evtl. den verbleibenden Ausdruck.

Das ist bei solch hohen Potenzen wie 4500 allerdings sehr unpraktisch. Wenn solch hohe Potenzen auftreten, handelt es sich meist um Zahlen, deren $n$-te Potenz (fuer kein zu grosses $n$) recht schoen aussieht (etwa Einheitswurzeln, aber auch sowas wie Einheitswurzel mal [mm] $\sqrt[10]{5}$). [/mm]

LG Felix

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