größtmöglicher flächeninhalt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Do 04.03.2004 | | Autor: | Alayna |
ich habe eine wunderschöne aufgabe aus unserem mathebuch, die ich leider mal wieder nicht lösen kann....
"ein rechteck hat die eckpunkte O(0/0), P(x/0), Q(x/y) und R(0/y). Dabei liegt Q im 1. Feld auf der Geraden mit der Gleichung y=-2x+5. Für welche Lage von Q hat es den größten Flächeninhalt?"
wichtig ist also nur der punkt Q. von seinen x und y koordinaten hängt der flächeninhalt ab. x*y muss natürlich größtmöglich sein. je größer x wird, desto kleiner wird y. je größer y wird, desto kleiner wird x. also muss man gewissermaßen ein mittel finden. allerdings hab ich keine ahnung, wo ich nun ansetzen muss....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Do 04.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Alayna!
> ich habe eine wunderschöne aufgabe aus unserem mathebuch
Hmmh. Ironie oder nicht, das ist hier die Frage... 
> die ich leider mal wieder nicht lösen kann....
Dafür sind wir ja da. 
> "ein rechteck hat die eckpunkte O(0/0), P(x/0), Q(x/y) und
> R(0/y). Dabei liegt Q im 1. Feld auf der Geraden mit der
> Gleichung y=-2x+5. Für welche Lage von Q hat es den größten
> Flächeninhalt?"
> wichtig ist also nur der punkt Q. von seinen x und y
> koordinaten hängt der flächeninhalt ab.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> x*y muss natürlich
> größtmöglich sein.
Damit hast du die Aufgabe ja schon fast gelöst!
Die Funktion
[mm]A(x,y) = x\cdot y[/mm]
muss also maximiert werden.
Es ist eine Funktion mit zwei Unbekannten, das ist schlecht.
Wie können wir daraus eine Funktion mit einer Unbekannten machen (die wir dann mühelos maximieren können)?
Nun ja, wir haben ja noch eine Nebenbedingung!
Der Punkt [mm]\red{Q}[/mm] soll im ersten Quadranten auf der Gerade [mm]\red{y=-2x+5}[/mm] liegen.
Dann setzen wir doch die notwendige Bedingung [mm]y=-2x+5[/mm] einfach mal in unsere zu maximierende Funktion [mm]A(x,y)[/mm]ein. Wir erhalten eine Funktion, die nur von von einer Variablen, nämlich [mm]x[/mm], abhängt:
[mm]A(x) = x\cdot (-2x+5) = -2x^2 + 5x[/mm].
Diese Funktion muss nun maximiert werden (für [mm]x>0[/mm]).
Das kannst du...
Melde dich bitte mit deinem Ergebnis.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Do 04.03.2004 | | Autor: | Alayna |
hmm jaaaaaaaaaa......... dass man das einsetzen kann wollt ich grad noch ergänzen. aber du bist mir zuvorgekommen und mein pc hat mich im stich gelassen.
und dieses schöne "maximieren" wie du es nennst.... gerade davon habe ich keine ahnung. natürlich muss[mm] 5x [/mm]größer werden als der Betrag von [mm](-2x^2)[/mm]. aber dann erhalte ich noch kein maximum :o(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Do 04.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Alayna!
Nun ja, wie bekommt man denn das Maximum einer Funktion raus?
Ableiten, Ableitung gleich 0 setzen, den gefundenen Wert in die zweite Ableitung einsetzen. Schon mal was davon gehört?
Ich fange mal an:
[mm]A(x)= -2x² + 5x[/mm]
[mm]\Rightarrow A'(x) = -4x + 5[/mm]
[mm]0 \stackrel{(!)}{=} -4x+5[/mm]
[mm]\Rightarrow x= \ldots[/mm]
[mm]A''(x) = \ldots[/mm]
Ist die zweite Ableitung an der Stelle kleiner als [mm]0[/mm] ?
[mm]\Rightarrow y = \ldots[/mm]
Na?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Do 04.03.2004 | | Autor: | Alayna |
klar.. das hätte ich wissen müssen *argh*
jetzt schaff ich es auch... thx :o)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Do 04.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Alayna!
Oder hattet ihr noch keine Ableitungen?
Dann schau dir mal die Funktion
[mm]A(x) = -2x² + 5x[/mm]
an.
Es handelt sich um die Funktionsgleichung einer Parabel.
An welcher Stelle nimmt eine nach unten geöffnete Parabel den größten Funktionswert an?
Genau, am Scheitelpunkt!
Also berechnest du den Scheitelpunkt von
[mm]y=-2x² + 5x[/mm].
Kannst du das?
Liebe Grüße
Stefan
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