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Hallo
Folgende Aufgabe: Untersuchen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren:
(6)
[mm] \limes_{x\rightarrow1-} [/mm] ln(x)*ln(1-x);
Wir sollen die Aufgaben mit l'hosptial lösen. Bei den anderen hatte ich keine Probleme, aber bei dem weiß ich nicht bescheid. Kann es sein, dass man bei dieser Aufgabe keinen Grenzwert ausrechnen kann mit dem l'hospital?
Mfg
Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Markus,
um den Grenzwert mit den Regeln nach de 'Hospital bestimmen zu können, benötigst Du erstmal einen Bruch, der als Grenzwert dem Ausdruck
" [mm] \bruch{0}{0} [/mm] " oder aber " [mm] \bruch{\pm \infty}{\pm \infty} [/mm] "
entspricht.
In unserem Fall haben wir erst mal ein Produkt vorgegeben. Dies' können wir aber leicht in einen (Doppel-)Bruch umschreiben:
[mm] \bruch{ ln(x) }{\bruch{1}{ln(1-x)}}
[/mm]
Zähler und Nenner streben jeweils gegen 0, wir dürfen also de l'Hospital anwenden.
Jetzt musst Du die Regel nach de l'Hospital 2mal anwenden, um zu einen Ergebnis zu kommen.
Ich hoffe, damit kommst Du weiter ...
Grüße Loddar
PS: Nach meiner Rechnung existiert ein Grenzwert, nämlich 0.
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Danke
So bin ich auch vorgegangen, hatte aber glaube ich bei der Ableitung nen Fehler. Jetzt hab ich jedenfalls den selben Grenzwert.
Mfg
Markus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:24 Do 11.11.2004 | | Autor: | spacephreak |
Hallo
Ich bin nochmal die Aufgabe durchgegangen und ich habe einen Fehler entdeckt. Nach dem ersten ableiten hat man ja kein Typ 0/0 mehr... Das ist mir erst später aufgefallen. weil man hat ja einen Ausdruck ln(0) und der ist ja bekanntlich nicht 0 und somit hat man im Zähler keine 0.
*seufz*
Mfg
Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Spacephreak,
mach' mich nicht schwach ... 
Ich bin die Aufgabe auch nochmal durch und erhalte folgenden Ausdruck, nachdem ich das 1. Mal de l'Hospital angewendet habe:
[mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{-[ln(1-x)]^{-2}\times\bruch{1}{1-x}\times(-1)}
[/mm]
Wenn ich nun den Ausdruck [mm] \bruch{1}{x} [/mm] in den Nenner und [mm] \bruch{1}{[ln(1-x)]^{2}} [/mm] in den Zähler nehme, erhalte ich:
[mm] \bruch{[ln(1-x)]^{2}}{\bruch{x}{1-x}}
[/mm]
Dies stellt nun einen Ausdruck [mm] \bruch{ \infty}{ \infty} [/mm] dar. Also darf ich de l'Hospital wiederum anwenden.
Insgesamt muß ich de l'Hospital 3-mal anwenden und nicht nur 2-mal.
Nach dem 2. Mal erhalte ich nach dem Kürzen:
[mm] \bruch{(-2) \times ln(1-x)}{\bruch{1}{1-x}}
[/mm]
Nach dem 3. Mal erhalte ich nach dem Kürzen den Ausdruck (-2)·(1-x).
(Endlich ist der ln weg ...)
Und der Grenzwert für x [mm] \to [/mm] 1- ist ja nun eindeutig 0 !!
Sorry für den Fehler, aber ich hoffe, nun kommst Du mit den Zwischnschritten klar ...
Sonst einfach fragen ...
Grüße Loddar
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$ [mm] \bruch{[ln(1-x)]^{2}}{\bruch{x}{1-x}} [/mm] $
Ist doch nicht vom Typ [mm] \bruch{ \infty}{ \infty}?!
[/mm]
Du hast ja unten 1-x und wenn x gegen 1 geht dann ist das doch 0, oder nicht?
Mfg
Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo spacephreak!
> [mm]\bruch{[ln(1-x)]^{2}}{\bruch{x}{1-x}}[/mm]
> Ist doch nicht vom Typ [mm]\bruch{ \infty}{ \infty}?!
[/mm]
Doch! 
> Du
> hast ja unten 1-x und wenn x gegen 1 geht dann ist das doch
> 0, oder nicht?
Ja, aber der Nenner heißt ja:
[mm] $\frac{x}{1-x}$,
[/mm]
und es gilt:
[mm] $\lim\limits_{x \to 1-} \frac{\overbrace{x}^{\to 1}}{\underbrace{1-x}_{\to 0+}} [/mm] = + [mm] \infty$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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Achjo
Man ich bin heute schon den ganzen Tag verwirrt. Dann hatte ich das ja eigentlich schon von Anfang an richtig, hätte ich mal nicht auf meinen Kollegen gehört:)
Danke euch beiden
Mfg
Markus
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