grenzwert zeigen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Do 02.12.2004 | | Autor: | joas |
Wie kann ich zeigen, dass
(1+ 1/3n)^(2n)
gegen 2 konvergiert
gruß joas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Do 02.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Joas!
> Wie kann ich zeigen, dass
>
> (1+ 1/3n)^(2n)
>
> gegen 2 konvergiert
Wenn ich das richtig lese, dann gar nicht. Es gilt nämlich:
[m]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{3n}\right)^{2n}
=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{\left(\frac{1}{3}\right)}{n}\right)^{2n}[/m]
[m]=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\left(1+\frac{\left(\frac{1}{3}\right)}{n}\right)^{n}*\left(1+\frac{\left(\frac{1}{3}\right)}{n}\right)^{n}\right)[/m]
[m]=\underbrace{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{\left(\frac{1}{3}\right)}{n}\right)^{n}}_{=exp(\frac{1}{3})}*\underbrace{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{\left(\frac{1}{3}\right)}{n}\right)^{n}}_{=exp(\frac{1}{3})}[/m]
[m]=exp\left(\frac{1}{3}\right)*exp\left(\frac{1}{3}\right)[/m]
[m]=exp\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)[/m]
[m]=exp\left(\frac{2}{3}\right)[/m]
[m]=e^{\frac{2}{3}}\approx 1,9477[/m]
Voraussetzung ist, dass du (mindestens) weißt:
[m]\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} e^{x}\;(=exp(x))[/m] [mm] ($\forall [/mm] x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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