greensche funktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:57 Di 30.01.2007 | | Autor: | spektrum |
| Aufgabe | berechne die greensche Funktion der sturm liouvillschen Randwertaufgabe (px')' + qx=y, R_1x= [mm] \alpha_1 x(a)+\alpha_2x'(a), [/mm] R_2x= [mm] \beta_1 x(b)+\beta_2x'(b): [/mm]
x'' = y, x(0)=x(1)=0
bestimme dazu ein fundamentalsystem [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] der homogenen Gleichung , das den Bedingungen [mm] R_1x_1=0, R_2x_2=0 [/mm] genügt und setze c:= [mm] p(x_1x'_2-x'_1x_2). [/mm] |
hallo an alle!!
kann mir bitte jemand helfen?
ich stehe vor folgendem problem:
um die greensche funktion zu berechnen, soll ich zuerst eine lösung der homogenen gleichung x''=0 berechnen.
das habe ich nun auch gemacht und komme aber zu einem ergebnis das mir irgendwie nicht viel bringt, nämlich x=ay+b.
wenn ich jetzt noch die randbedingungen einsetze, erhalte ich a=0 und b= 0.
stimmt das soweit?
wenn ja was nützt mir jetzt dieses ergebnis? y wäre dann ja beliebig oder? und soweit ich das im moment versteh, hab ich dann ja auch kein [mm] x_1 [/mm] und kein [mm] x_2 [/mm] um das c zu berechnen, oder?
schon einmal vielen dank im voraus für die hilfe!
lg spektrum
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Do 01.02.2007 | | Autor: | spektrum |
| Aufgabe | | x''=y, x(0)=x(1)=0 |
hallo liebe mathematiker!
diese aufgabe habe ich zu lösen, habe aber schon ein problem hier die homogene lösung zu finden. ich habe so begonnen:
x''=0
x'= a
x= ay+b
setze ich aber die randbedingungen ein, erhalte ich
a=b=0.
was ist denn dann meine lösung? y beliebig?
bestimmen soll ich allerdings ein fundamentalsystem [mm] {x_1,x_2} [/mm] zuerst einmal für die homogene gleichung... wäre das dann irgendein [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2???
[/mm]
ich weiß einfach nicht mehr weiter!
vielen dank schon einmal für die hilfe!
lg spektrum
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Do 01.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist doch schon beinahe keine Dgl mehr! einfach 2mal integrieren ergibt:
[mm] x'=1/2y^2+a
[/mm]
[mm] x=1/6y^3+ay+b
[/mm]
du kannst natuerlich auch ay+b als Loesg der hom. und [mm] 1/6y^3 [/mm] als part. Loesg der inhomogenen sehen.
Die Anfangsbed. kannst du nur in die Gesamtloesung einsetzen. folgt b=0 und a=-1/6
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:40 Fr 02.02.2007 | | Autor: | spektrum |
hallo leduart!
danke für deine schnelle antwort!
so gesehen wars je ganz einfach, hab mich nicht erinnert nur in die gesamtlösung die rb einsetzen zu dürfen!
das einzige problem, das ich jetzt noch habe ist, dass ich ein fundamentalsystem [mm] (x_1,x_2) [/mm] der homogenen gleichung bestimmen soll, das den rb genügt! also so wie ich das verstehe 2 verschiedene lösungen. oder sehe ich das falsch?
kannst du mir vielleicht einen tipp geben?
vielen dank!
lg spektrum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Fr 02.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das homogene System hat bei den Randbedingungen nur die triviale Loesung x(t)=0
die du natuerlich durch x1(t)=1, x2(t)=x als Basis und x(t)=0*x1+0*x2 loesen kannst.
Das scheint mir unsinnig. wie heisst den der Wortlaut der Aufgabe?
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Sa 03.02.2007 | | Autor: | spektrum |
| Aufgabe | man bestimme ein fundamentalsystem [mm] {x_1,x_2} [/mm] der homogenen Gleichung, wobei [mm] x_1 [/mm] der ersten RB, und [mm] x_2 [/mm] der 2. RB genügen soll.
berechne dann c:= [mm] x_1*x_2' [/mm] - [mm] x_1'*x_2.
[/mm]
dann ist die Lösung:
[mm] x_1(s)*x_2(t)/c. [/mm] |
hallo leduart!
so lautet also die genaue aufgabenstellung.
ich hab mir das ganze jetzt ganz einfach so gedacht.
mein [mm] x_1= [/mm] y
denn in die erste RB eingesetzt ist [mm] x_1(0)=0.
[/mm]
mein [mm] x_2= [/mm] y-1
denn in die 2. RB eingesetzt ist [mm] x_2(1)=0
[/mm]
mein c wäre dann =1
und die lösung wäre =s*(t-1)
diese lösung stimmt auch,(die lösung ist mir bekannt!), allerdings kommt mir das alles ein bisschen aus der luft gegriffen vor.
oder kann ich mir diese [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] wirklich einfach so selber "erfinden"?
der homogenen dgl. x"=0 würden sie ja genügen...
vielen dank für deine hilfe!
lg sepktrum
|
|
|
| |
|
Ja, lustig oder? Ich hab mal nachgeschaut und wir haben genau die gleiche Aufgabe genauso gelöst. Wir hatten damals das Fundamentalsystem als linear unabhängige Menge von Lösungen der homogenen Aufgabe definiert. Wie in einem Vektorraum kannst du dir hier wahllos linear unabhängige Funktionen greifen, welche dir gerade gefallen. Sie müssen natürlich die Randwertbedingungen erfüllen. Die Gesamtlösung besteht dann aus einer Linearkombination vom Fundamentalsystem wenn ich mich recht erinnere.
ich hoffe das hilft dir.
Straussy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:32 Mo 05.02.2007 | | Autor: | spektrum |
vielen dank!
das hilft mir auf jeden fall weiter!! dass ich das tatsächlich so machen kann, hätt ich mir nicht gedacht!
danke für die mühe und entschuldige noch mal!
lg spektrum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 10:05 So 04.02.2007 | | Autor: | straussy |
Die Differentialgleichung [mm] x'' = 0 [/mm] solltest du deshalb lösen, weil das inhomogene Randwertproblem genau dann eindeutig lösbar ist, wenn das homogene RWP nur die triviale Lösung hat. Damit hast du jetzt rausbekommen, dass deine Lösung eindeutig sein wird. Mal ne Frage. Was ist y? Ist das eine Funktion oder eine Variable?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 So 04.02.2007 | | Autor: | spektrum |
hallo!
prinzipiell handelt es sich bei dieser dgl. um ein sturm-liouvillsches RWP.
y ist dabei aus C[a,b].
noch ein tipp für dich: da mir auf diese frage bis jetzt ausßer dir noch niemand geantwortet hat, hab ich dieselbe frage noch einmal unter dem thema "homog. randwertaufgabe" ins forum gestellt.
hier habe ich auch einen eigenen lösungsvorschlag den ich in der zwischenzeit herausgefunden hab, hingeschrieben!
vielen dank für deine mühe!
lg spektrum
|
|
|
|
