globale, lokale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe noch ein Problem mit dem Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremstellen bei Funktionen mit mehreren Variablen.
Angenommen ich bekomme nur eine Funktion ohne Nebenbedingung und es wird nach Extremstellen gefragt. Ist es richtig, dass ich dann aber auch nur lokale Extrema finden kann, weil ich globale Extrema nur auf dem Rand finde,
auf dem Rand, d.h. wenn ich eine Nebenbedingung gegeben habe, die kompakt ist (also [mm] ...\le... [/mm] oder [mm] ...\ge...).
[/mm]
Andererseits kann ich NUR globale Extrema finden, wenn ich eine Nebenbedingung habe, die "geschlossen" ist (nennt man das so), also wenn ich eine Lagrange-Ungleichung mit ...=... habe?
Ich hatte (jetzt ein Beispiel) eine Funktion mit f(x,y)=... ohne irgendeine Nebenbedingung. Und ich sollte lokale Extremwerte finden. Ich bin hingegangen, habe meine Hesse-Matrix aufgestellt, dabei aber gleich auch die Werte eingesetzt, die ich als stationäre Punkte festgelegt habe. Dann habe ich die Determinante berechnet und wenn diese >0 war, habe ich mir noch den Wert "oben links" angeschaut. Daraus folgte dann meine Antwort, ob Sattelpunkt, Minimum oder Maximum.
Aber in der Lösung ist man hingegangen, hat die Determinante ganz allgemein bestimmt (also ohne einsetzen) und hatte;
[mm] (2+x^2)(2+y^2) [/mm] als Determinante
Dies ist immer >0, klar. Aber was bringt mir diese Aussage, wieso kann ich nun darauf schließen, dass es sich
a) auch um globale Extremstellen handeln muss
und b) ist das überhaupt gefragt? Ich würde sagen, ich mache dies nur, wenn globale Extremstellen gefragt sind (wobei ich da wieder zu meiner ANfangsfrage zurückkomme: Ich dachte globale Extremstellen gibt es nur auf dem RAND, also MIT Nebenbedingung?).
Ich wäre euch dankbar, wenn jemand Licht in mein Dunkel bringen könnte :)
LG!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Di 27.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schon im 2d hast du doch fkt wie z. Bsp y=x*sinx die viele verschieden hohe Maxima haben. wenn du jetzt auf [mm] |x|\le100 [/mm] einschraenkst gibts immer noch ein globales max und ein globales Min, naemlich das hoechst und niedrigst in dem Gebiet. die beide nicht auf dem Rand liegen. wenn du das Ding rotierst oder mit y*siny multiplizierst hast du was entsprechendes in 3d.
Guck dir einfach mal die Alpen an, mach irgendwo nen Kreis drum rum und du hast sicher einen hoechsten berg da drin!
Gruss leduart
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Okay, wenn ich eine Nebenbedingung habe, ist mir klar, dass es dann auf jeden Fall ein globales Minimum, Maximum geben muss.
Aber ich frage mich eher, wie beschrieben, was mit den lokalen und globalen Minima/Maxima ist, wenn ich keine Nebenbedingung habe.
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> Okay, wenn ich eine Nebenbedingung habe, ist mir klar, dass
> es dann auf jeden Fall ein globales Minimum, Maximum geben
> muss.
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> Aber ich frage mich eher, wie beschrieben, was mit den
> lokalen und globalen Minima/Maxima ist, wenn ich keine
> Nebenbedingung habe.
Hallo,
das kann verschieden sein.
Entweder ist eins Deiner lokalen Maxima ein globales Maximum, oder eben nicht.
Wenn die Funktion zu den "Enden des Definitionsbereiches" hin abrauscht ins Unendliche, dann gibt es kein globales Maximum.
Gruß v. Angela
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Das macht so vom Erklären natürlich Sinn.
Das Problem ist eher, wie ich das an der Aufgabe(nstellung) erkenne.
Wie gesagt, habe ich eine Nebenbedingung, dann untersuche ich erst auf lokale Minima, Maxima indem ich die stationären Punkte berechne. Dann berechne ich zB mit Lagrange und der Nebenbedingung und vergleiche am Ende alle meine Punkte, suche also dann erst den größten und kleinsten Punkt (wie finde ich hier dann eigentlich den Sattelpunkt?).
Aber wenn ich keine Nebenbedingung habe, dann kann ich doch im Grunde nur die stationären Punkte berechnen und dann mit der Hesse-Matrix schauen ob diese Punkte Maxima, Minima oder SPs sind (wenn meine geischten ABleitungen =0 sind brauche ich Hesse ja auch gar nicht, oder?).
Es sei den ich soll auf globale Extrema untersuchen, obwohl ich keine Nebenbedingung habe. Was mache ich denn dann? Gehe ich dann so vor wie in meinem Beispiel, also dass ich die Determinante berechne, aber völlig allgemein und zB bei einer quadratischen Funktion, die sich ergibt, sagen kann, dass es "für alle Punkte positiv" ist und es damit nur globale Minima gibt?
Was ist eigentlich dann, wenn die Hessematrix keine Variablen mehr enthält?
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> Das macht so vom Erklären natürlich Sinn.
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> Das Problem ist eher, wie ich das an der Aufgabe(nstellung)
> erkenne.
Hallo,
normalerweise sollte dabeistehen, was man tun soll.
> Wie gesagt, habe ich eine Nebenbedingung, dann untersuche
> ich erst auf lokale Minima, Maxima indem ich die
> stationären Punkte berechne. Dann berechne ich zB mit
> Lagrange und der Nebenbedingung und vergleiche am Ende alle
> meine Punkte, suche also dann erst den größten und
> kleinsten Punkt (wie finde ich hier dann eigentlich den
> Sattelpunkt?).
Auf dem Rand?
Hier guckst Du dicht beim kritischen Punkt die Funktionswerte an und vergleichst.
> Aber wenn ich keine Nebenbedingung habe, dann kann ich doch
> im Grunde nur die stationären Punkte berechnen und dann mit
> der Hesse-Matrix schauen ob diese Punkte Maxima, Minima
> oder SPs sind (wenn meine geischten ABleitungen =0 sind
> brauche ich Hesse ja auch gar nicht, oder?).
Aber sie schadet auch nicht. Ich würde die trotzdem nehemen, weil man sich dann nicht zweierlei merken muß.
> Es sei den ich soll auf globale Extrema untersuchen, obwohl
> ich keine Nebenbedingung habe. Was mache ich denn dann?
Du berechnest die lokalen Extrema, guckst nach, welches das größte der Maxima ist. Dann müßtest Du untersuchen, ob die Funktionswerte in Richtung [mm] \infty [/mm] womöglich größer werden als der am ausgerechneten größten raltiven Maximum.
> Gehe ich dann so vor wie in meinem Beispiel, also dass ich
> die Determinante berechne, aber völlig allgemein und zB bei
> einer quadratischen Funktion, die sich ergibt, sagen kann,
> dass es "für alle Punkte positiv" ist und es damit nur
> globale Minima gibt?
Verstehe ich nicht.
>
> Was ist eigentlich dann, wenn die Hessematrix keine
> Variablen mehr enthält?
Dann ändert sie sich duchs Einsetzen des stationären Punktes nicht. Sie ist dann eben an allen Stellen gleich.
Gruß v. Angela
>
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:44 Do 29.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
> > Gehe ich dann so vor wie in meinem Beispiel, also dass ich
> > die Determinante berechne, aber völlig allgemein und zB bei
> > einer quadratischen Funktion, die sich ergibt, sagen kann,
> > dass es "für alle Punkte positiv" ist und es damit nur
> > globale Minima gibt?
>
> Verstehe ich nicht.
Das Beispiel war so:
[mm] (2+x^2)(2+y^2) [/mm] als Determinante der Hessematrix. da sieht man ja eindeutig, dass für alle Werte nur positive Ergebnisse rauskommen. Also haben wir gesagt, dass die stationären Punkte auch globale Extrema sind.
Da ist eben meine Frage. Hier hatte ich keine Randbedingung, also hätte ich nur nach lokalen Extremstellen gesucht, weil mir nicht klar ist, wie ich sie auch global bestimme.
Reicht es dann, wenn OHNE Randbedingung in der Aufgabe steht "Suchen Sie nach lokalen UND globalen Extrema", wenn ich die Determinante allgemein, also erstmal ohne einsetzen meiner stationären Punkte, berechne und dann eben wie zB oben sage "für alle Werte wird die Determinante größer (oder kleiner) 0"?
Wenn ich Nebenbedingungen habe und auf lokale und globale Extremstellen untersuchen soll, rechne ich also erstmal die stationären Punkte für das Innere und dann mit Lagrange auf dem Rand, oder? Und dann vergleiche ich.
Ich tu mir eben gerade schwer mit den lokalen und globalen Stellen und wie ich sie berechne wenn ich
a) keine Randbedingung habe
b) wenn ich eine Randbedingung mit [mm] \ge [/mm] 0 habe
c) wenn ich eine Randbedingung mit = 0 habe
Edit: Ich frage mich hauptsächlich: Bestimme ich die Determinante der Hessematrix erst allgemein, oder kann ich einfach die Werte für die Variablen schon in der Hessematrix einsetzen und dann eben die Determinante bestimmen (die dann ohne Variablen ist). Mir fällt das einfacher, aber wie in dem Beispiel oben hat man erst allgemein die Determinante gelöst und dann eben geschlussfolgert, dass es für alle Werte positiv ist - musste offenbar nicht mehr die stationären Punkte einsetzen.
Aber da ist eben die Frage, wie ich am Ende gesagt habe: Bei welchen Angaben gehe ich wie vor? :(
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> > Was ist eigentlich dann, wenn die Hessematrix keine
> > Variablen mehr enthält?
>
> Dann ändert sie sich duchs Einsetzen des stationären
> Punktes nicht. Sie ist dann eben an allen Stellen gleich.
>
Noch kurz dazu eine Rückfrage: Dann heißt es aber doch, dass meine stationären Punkte "egal" sind und ich sage, für diese Punkte (angenommen die Matrix ist indefinit) gilt, dass sie alle Sattelpunkte sind?
Außerdem haben wir mal gesagt, wenn in der Hesse-Matrix keine Variablen mehr stehen, sind diese stationären Punkte nicht nur lokal, sondern auch global Extrema, ist das richtig?
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> > > Was ist eigentlich dann, wenn die Hessematrix keine
> > > Variablen mehr enthält?
> >
> > Dann ändert sie sich duchs Einsetzen des stationären
> > Punktes nicht. Sie ist dann eben an allen Stellen gleich.
> >
>
> Noch kurz dazu eine Rückfrage: Dann heißt es aber doch,
> dass meine stationären Punkte "egal" sind und ich sage, für
> diese Punkte (angenommen die Matrix ist indefinit) gilt,
> dass sie alle Sattelpunkte sind?
Hallo,
nein, notwendig für "Sattelpunkt" ist, daß der Gradient =0 ist. Es kommen nur die stionären Punkte für Sattelpunkte infrage.
> Außerdem haben wir mal gesagt, wenn in der Hesse-Matrix
> keine Variablen mehr stehen, sind diese stationären Punkte
> nicht nur lokal, sondern auch global Extrema, ist das
> richtig?
Ich habe das vorhin nachgelesen: wenn Deine Hessematrix für alle (x,y) positiv definit ist, kannst Du sicher sein, daß das von Dir gefundenen Minimum global ist.
Fürs Mximum entsprechend.
Gruß v. Angela
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> nein, notwendig für "Sattelpunkt" ist, daß der Gradient =0
> ist. Es kommen nur die stionären Punkte für Sattelpunkte
> infrage.
Meinst du nicht <0 bei der Determinante?
Hast du eventuell noch die Zeit mir die Frage in diesem Thread weiter oben zu erläutern? Dafür wäre ich dir wirklich dankbar!
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> >
> > nein, notwendig für "Sattelpunkt" ist, daß der Gradient =0
> > ist. Es kommen nur die stionären Punkte für Sattelpunkte
> > infrage.
>
> Meinst du nicht <0 bei der Determinante?
Hallo,
ich weiß nicht, was Du meinst. Ich habe doch gar nicht von Determinanten geredet, oder?
Gruß v. Angela
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> Hast du eventuell noch die Zeit mir die Frage in diesem
> Thread weiter oben zu erläutern? Dafür wäre ich dir
> wirklich dankbar!
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:52 So 01.02.2009 | | Autor: | Englein89 |
Ich stell nochmal die Fragen von oben ein, da ich immernoch an einer Antwort interessiert bin. Mir fehlt bei den Berechnungen mit mehreren Veränderlichen immernoch das System, bzw ein Überblick :(
> > > Gehe ich dann so vor wie in meinem Beispiel, also dass ich
> > > die Determinante berechne, aber völlig allgemein und zB bei
> > > einer quadratischen Funktion, die sich ergibt, sagen kann,
> > > dass es "für alle Punkte positiv" ist und es damit nur
> > > globale Minima gibt?
> >
> > Verstehe ich nicht.
>
> Das Beispiel war so:
>
> [mm](2+x^2)(2+y^2)[/mm] als Determinante der Hessematrix. da sieht
> man ja eindeutig, dass für alle Werte nur positive
> Ergebnisse rauskommen. Also haben wir gesagt, dass die
> stationären Punkte auch globale Extrema sind.
>
> Da ist eben meine Frage. Hier hatte ich keine
> Randbedingung, also hätte ich nur nach lokalen
> Extremstellen gesucht, weil mir nicht klar ist, wie ich sie
> auch global bestimme.
> Reicht es dann, wenn OHNE Randbedingung in der Aufgabe
> steht "Suchen Sie nach lokalen UND globalen Extrema", wenn
> ich die Determinante allgemein, also erstmal ohne einsetzen
> meiner stationären Punkte, berechne und dann eben wie zB
> oben sage "für alle Werte wird die Determinante größer
> (oder kleiner) 0"?
>
> Wenn ich Nebenbedingungen habe und auf lokale und globale
> Extremstellen untersuchen soll, rechne ich also erstmal die
> stationären Punkte für das Innere und dann mit Lagrange auf
> dem Rand, oder? Und dann vergleiche ich.
>
> Ich tu mir eben gerade schwer mit den lokalen und globalen
> Stellen und wie ich sie berechne wenn ich
> a) keine Randbedingung habe
> b) wenn ich eine Randbedingung mit [mm]\ge[/mm] 0 habe
> c) wenn ich eine Randbedingung mit = 0 habe
>
> Edit: Ich frage mich hauptsächlich: Bestimme ich die
> Determinante der Hessematrix erst allgemein, oder kann ich
> einfach die Werte für die Variablen schon in der
> Hessematrix einsetzen und dann eben die Determinante
> bestimmen (die dann ohne Variablen ist). Mir fällt das
> einfacher, aber wie in dem Beispiel oben hat man erst
> allgemein die Determinante gelöst und dann eben
> geschlussfolgert, dass es für alle Werte positiv ist -
> musste offenbar nicht mehr die stationären Punkte
> einsetzen.
>
> Aber da ist eben die Frage, wie ich am Ende gesagt habe:
> Bei welchen Angaben gehe ich wie vor? :(
Nachher rechne ich noch völlig sinnloses Zeug, was gar nicht gefragt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 So 01.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Auf das meist hast du doch eine Antwort gekriegt.
Also fass lieber, was du jetzt verstanden hast zusammen und stell ne neue Frage, wo genau gesagt ist , wo es noch hakt.
Gruss leduart
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