globale Extrema, Nebenbedingun < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Eumel09 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die globalen Extrema von f: [mm] \IR^3 \to\IR,
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y\\z} \mapsto x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] unter der Nebenbedinung [mm] \bruch{x^2}{4} [/mm] + [mm] \bruch{y^2}{9} [/mm] + [mm] \bruch{z^2}{25} [/mm] = 1. Interpretieren Sie die Nebenbedingung geometrisch. |
Hallo,
hab die Aufgabe versucht mit lagrange zu lösen.
Also g(x) := [mm] \bruch{x^2}{4} [/mm] + [mm] \bruch{y^2}{9} [/mm] + [mm] \bruch{z^2}{25} [/mm] - 1 . Nun habe ich grad f = [mm] \gamma [/mm] * grad g gesetzt und folgendes Gleichungsystem erhalten:
4*x = [mm] \gamma [/mm] *x
9*y = [mm] \gamma*y
[/mm]
25*z= [mm] \gamma*z
[/mm]
Die erste Lösung des Gleichungssystems ist (0,0,0) . Dabei kann es sich aber nicht um ein globales Extrema handeln, da dieser Punkt die Nebenbedingung nicht erfüllt. Da mindestens 2 komponenten null sein müssen, bleiben unter Berücksichtigung der Nebenbedingung als Lösungen die Punkte (2,0,0) , (0,3,0) , (0,0,5). Da f für (2,0,0) den niedrigsten Wert annimmt, ist dieser Punkt das globale Minimum.
Ist dieser Lösungsweg richtig und hat jemand nen Tipp für die geometrische Interpretation?
grüße eumel
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Hallo eumel,
eine gewisse geometrische anschauung hilft sicherlich weiter bei dieser aufgabe: durch die nebenbedingung ist eine ellipsoid charakterisiert, der die 3D-verallgemeinerung einer ellipse und damit eine 'gestauchte' Sphäre darstellt. der ellipsoid ist eine kompakte teilmenge des [mm] \IR^3, [/mm] somit muß die funktion f, die ja nur den quadrierten abstand zum ursprung darstellt, auf der fläche ihre extremwerte annehmen. alle möglichen kandidaten für extrema erhältst du über das lagrange-verfahren, welches du richtig durchgeführt hast.
einer der punkte ist also das globale minimum, ein anderer das globale maximum.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Di 04.07.2006 | | Autor: | Eumel09 |
Dankeschön Matthias 
gruß eumel
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