global invert/det/diffeomorphi < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Sei U [mm] \subset \IR^n [/mm] und f : U [mm] \to \IR^n [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Abbildung mit
|| f(x) - f(y) || [mm] \ge [/mm] c || x-y ||
dabei ist c eine pos. Konstante. Zeige, dass det (Df(x)) [mm] \not= [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] U und dass f : U [mm] \to [/mm] f(U) global invertierbar ist.
b)
Sei f := [mm] (f_1,f_2,f_3) [/mm] : [mm] \IR^2 \to \IR^3 [/mm] stetig differenzierbar mit det [mm] \pmat{ D_1 f_1 & D_2 f_1 \\ D_1 f_2 & D_2 f_2 } \not= [/mm] 0.
zeige, dass es zu jedem Punkt [mm] (a_1,a_2) [/mm] eine Umgebung W von [mm] (a_1,a_2,0) [/mm] und eine Umgebung V von [mm] (f_1(a_1,a_2),f_2(a_1,a_2),f_3(a_1,a_2)) [/mm] gibt, sodass ein Diffeomorphismus g : V [mm] \to [/mm] W mit (g [mm] \circ [/mm] f) [mm] (x_1,x_2) [/mm] = [mm] (x_1,x_2,0) [/mm] existiert. |
huhu,
also zum ersten Teil der a) habe ich glaube ich die Lösung:
mit der Ungleichung
|| f(x) - f(y) || [mm] \ge [/mm] c || x-y ||
und dem MWS folgt ja:
||Df(x)|| [mm] \* [/mm] ||x-y|| [mm] \ge [/mm] c || x-y ||
jetzt gekürzt:
||Df(x)|| [mm] \ge [/mm] c
somit ist die Matrix nur mit pos. Einträgen bestückt. Aus der pos. Definitheit folgt, dass die Eigenwerte von der Matrix alle echt größer Null sind und da die Summe der Eigenwerte der Determinante entsprechen, ist die det ungleich Null ;)
Wie zeige ich nun nachdem ich ja hiermit die lokale Invertierbarkeit habe, die globale? dazu muss ich noch Injektivität zeigen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Di 05.06.2012 | | Autor: | SEcki |
> ||Df(x)|| [mm]\*[/mm] ||x-y|| [mm]\ge[/mm] c || x-y ||
So lautet der MWS nicht! Also nochmal nachdenken.
SEcki
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??
naja doch mit Cauchy Schwarz schon abgeschätzt nach oben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Di 05.06.2012 | | Autor: | SEcki |
> naja doch mit Cauchy Schwarz schon abgeschätzt nach oben
Cauchy-Schwarz? Was hat das denn hiermit zu tun?
Und: es ist immer noch falsch, schau dir den mal gaaaanz genau an. So leicht, wie du es dir machst, geht es dann eben doch nicht.
SEcki
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ok ich hab mich bei wiki nochmal schlau gemacht und wenn ich bedenke von wo nach wo ich abbilde, muss ich wahrscheinlich den MWS anwenden, der so aussieht oder:
f(x) - f(y) = A [mm] \* [/mm] (x-y) , wobei A := [mm] \integral_{0}^{1}{Df (y+ t\*(x-y)) dt}
[/mm]
wobei mir das erstma anschaulich nix sagt.
eingesetzt:
||f(x)-f(y)|| [mm] \ge c\*||x-y||
[/mm]
<=>
A [mm] \* [/mm] (x-y) [mm] \ge [/mm] c [mm] \* [/mm] ||x-y||
<=>
A [mm] \ge [/mm] c
<=>
[mm] \integral_{0}^{1}{Df (y+ t\*(x-y)) dt} \ge [/mm] c
ich weiß nicht, wie ich mit dem Integral hier umgehen muss. Das Integral einer Jacobi Matrix sagt mir nix. Aber hab ich nicht im prinzip wieder stehen, dass jeder Eintrag [mm] \ge [/mm] einer pos. Konstante ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Do 07.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> ok ich hab mich bei wiki nochmal schlau gemacht und wenn
> ich bedenke von wo nach wo ich abbilde, muss ich
> wahrscheinlich den MWS anwenden, der so aussieht oder:
>
>
> f(x) - f(y) = A [mm]\*[/mm] (x-y) , wobei A := [mm]\integral_{0}^{1}{Df (y+ t\*(x-y)) dt}[/mm]
>
> wobei mir das erstma anschaulich nix sagt.
>
> eingesetzt:
>
> ||f(x)-f(y)|| [mm]\ge c\*||x-y||[/mm]
>
> <=>
> A [mm]\*[/mm] (x-y) [mm]\ge[/mm] c [mm]\*[/mm] ||x-y||
Das ist doch Unfug ! Links steht ein Vektor und rechts eine Zahl !!!!
>
> <=>
>
> A [mm]\ge[/mm] c
Das ist nicht Dein Ernst ? !
Links hast Du durch einen Vektor dividiert !! Und rechts durch dessen Norm ?!
Du vergewaltigst die Mathematik !
FRED
>
> <=>
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{Df (y+ t\*(x-y)) dt} \ge[/mm] c
>
> ich weiß nicht, wie ich mit dem Integral hier umgehen
> muss. Das Integral einer Jacobi Matrix sagt mir nix. Aber
> hab ich nicht im prinzip wieder stehen, dass jeder Eintrag
> [mm]\ge[/mm] einer pos. Konstante ist?
>
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> > f(x) - f(y) = A [mm]\*[/mm] (x-y) , wobei A := [mm]\integral_{0}^{1}{Df (y+ t\*(x-y)) dt}[/mm]
>
> >
> > wobei mir das erstma anschaulich nix sagt.
> >
> > eingesetzt:
> >
> > ||f(x)-f(y)|| [mm]\ge c\*||x-y||[/mm]
> >
> > <=>
> > A [mm]\*[/mm] (x-y) [mm]\ge[/mm] c [mm]\*[/mm] ||x-y||
>
> Das ist doch Unfug ! Links steht ein Vektor und rechts
> eine Zahl !!!!
> >
woops ich habe vergessen, die Norm links auch hinzuschreiben
|| A [mm] \* [/mm] (x-y) || [mm] \ge [/mm] c ||(x-y)||
nach cauchy schwarz kann ich doch abschätzen:
|| A || [mm] \* [/mm] || x-y || [mm] \ge [/mm] ||A (x-y) || [mm] \ge [/mm] c || x-y ||
dividieren beider seiten durch ||x-y|| ergibt
||A|| [mm] \ge [/mm] c
soweit müsste es stimmen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Do 07.06.2012 | | Autor: | SEcki |
> nach cauchy schwarz kann ich doch abschätzen:
>
> || A || [mm]\*[/mm] || x-y || [mm]\ge[/mm] ||A (x-y) || [mm]\ge[/mm] c || x-y ||> || A [mm]\*[/mm] (x-y) || [mm]\ge[/mm] c ||(x-y)||
>
Das ist nicht die Cauchy-Schwarz-Ungleichung! Wenn, dann folgt dies aus der Definition einer passenden Norm für A!
> dividieren beider seiten durch ||x-y|| ergibt
>
> ||A|| [mm]\ge[/mm] c
>
> soweit müsste es stimmen oder?
Ja, aber richtig helfen tut es nicht ... nehme lieber den andren Lösungsweg.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Do 07.06.2012 | | Autor: | hippias |
Es gilt doch fuer $A:= Df$, dass $f(x)+f(y)= A(x-y)+ o(x-y)$ bzw. $f(x+h)-f(x)= Ah+ o(h)$. Wenn [mm] $\det [/mm] A=0$ waere, koennte man $Ah= 0$ erreichen und gleichzeitig [mm] $\frac{o(h)}{||h||}$ [/mm] beliebig klein kriegen. Versuche damit einen Widerspruch zu [mm] $c\leq \frac{||f(x+h)-f(x)||}{||h||}$ [/mm] zu erzeugen.
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> Es gilt doch fuer [mm]A:= Df[/mm], dass [mm]f(x)+f(y)= A(x-y)+ o(x-y)[/mm]
> bzw. [mm]f(x+h)-f(x)= Ah+ o(h)[/mm]. Wenn [mm]\det A=0[/mm] waere, koennte
> man [mm]Ah= 0[/mm] erreichen und gleichzeitig [mm]\frac{o(h)}{||h||}[/mm]
> beliebig klein kriegen. Versuche damit einen Widerspruch zu
> [mm]c\leq \frac{||f(x+h)-f(x)||}{||h||}[/mm] zu erzeugen.
huhu,
die Gleichungen, die du postest sind mir irgendwie neu, haben aber eine erstaunliche Ähnlichkeit zur Def. der totalen Differenzierbarkeit
Meine Fragen: wie kommt man darauf dass
det (A) = 0 => Ah = 0 möglich ist?
wieso ist nicht
det(A) [mm] \not= [/mm] 0 => Ah = 0 nicht auch möglich?
$ [mm] \frac{o(h)}{||h||} [/mm] $ ist ja der Störterm der mit [mm] \limes_{o\rightarrow 0} [/mm] gegen Null gehen muss. was muss ich hier für o einsetzten, um es zu überprüfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Do 07.06.2012 | | Autor: | hippias |
> > Es gilt doch fuer [mm]A:= Df[/mm], dass [mm]f(x)+f(y)= A(x-y)+ o(x-y)[/mm]
> > bzw. [mm]f(x+h)-f(x)= Ah+ o(h)[/mm]. Wenn [mm]\det A=0[/mm] waere, koennte
> > man [mm]Ah= 0[/mm] erreichen und gleichzeitig [mm]\frac{o(h)}{||h||}[/mm]
> > beliebig klein kriegen. Versuche damit einen Widerspruch zu
> > [mm]c\leq \frac{||f(x+h)-f(x)||}{||h||}[/mm] zu erzeugen.
>
>
> huhu,
>
> die Gleichungen, die du postest sind mir irgendwie neu,
> haben aber eine erstaunliche Ähnlichkeit zur Def. der
> totalen Differenzierbarkeit
Dies ist die Definition der Differenzierbarkeit, die Matrix wird Jacobi-Matrix genannt (siehe z.B. Heuser: Lehrbuch der Analysis 2, S. 260)
>
> Meine Fragen: wie kommt man darauf dass
>
> det (A) = 0 => Ah = 0 möglich ist?
> wieso ist nicht
> det(A) [mm]\not=[/mm] 0 => Ah = 0 nicht auch möglich?
Ist auch moeglich, aber nur fuer $h= 0$; da ich aber durch $||h||$ teilen moechte, benoetige ich so ein [mm] $h\neq0$, [/mm] was nur bei [mm] $\det(A)\neq [/mm] 0$ moeglich ist.
>
> [mm]\frac{o(h)}{||h||}[/mm] ist ja der Störterm der mit
> [mm]\limes_{o\rightarrow 0}[/mm] gegen Null gehen muss. was muss ich
> hier für o einsetzten, um es zu überprüfen?
"Klein o" ist die uebliche Landau Symbolik; siehe obiges Lehrbuch.
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> > > Es gilt doch fuer [mm]A:= Df[/mm], dass [mm]f(x)+f(y)= A(x-y)+ o(x-y)[/mm]
> > > bzw. [mm]f(x+h)-f(x)= Ah+ o(h)[/mm]. Wenn [mm]\det A=0[/mm] waere, koennte
> > > man [mm]Ah= 0[/mm] erreichen und gleichzeitig [mm]\frac{o(h)}{||h||}[/mm]
> > > beliebig klein kriegen. Versuche damit einen Widerspruch zu
> > > [mm]c\leq \frac{||f(x+h)-f(x)||}{||h||}[/mm] zu erzeugen.
> >
> >
> > huhu,
> >
> > die Gleichungen, die du postest sind mir irgendwie neu,
> > haben aber eine erstaunliche Ähnlichkeit zur Def. der
> > totalen Differenzierbarkeit
> Dies ist die Definition der Differenzierbarkeit, die
> Matrix wird Jacobi-Matrix genannt (siehe z.B. Heuser:
> Lehrbuch der Analysis 2, S. 260)
> >
> > Meine Fragen: wie kommt man darauf dass
> >
> > det (A) = 0 => Ah = 0 möglich ist?
> > wieso ist nicht
> > det(A) [mm]\not=[/mm] 0 => Ah = 0 nicht auch möglich?
> Ist auch moeglich, aber nur fuer [mm]h= 0[/mm]; da ich aber durch
> [mm]||h||[/mm] teilen moechte, benoetige ich so ein [mm]h\neq0[/mm], was nur
> bei [mm]\det(A)\neq 0[/mm] moeglich ist.
> >
> > [mm]\frac{o(h)}{||h||}[/mm] ist ja der Störterm der mit
> > [mm]\limes_{o\rightarrow 0}[/mm] gegen Null gehen muss. was muss ich
> > hier für o einsetzten, um es zu überprüfen?
> "Klein o" ist die uebliche Landau Symbolik; siehe obiges
> Lehrbuch.
Okay ich habs mir mal genauer angeschaut, wobei der Unterschied zu meinem Lehrbuch ist, dass ich nur die restfunktion o(h) mit [mm] \limes_{o \rightarrow 0} \bruch{o(h)}{||h||}= [/mm] 0 durch die Norm teile und nicht die Jacobi Matrix hmm :/
aber ok:
ich will also zu einem Widerspruch der Form c [mm] \le [/mm] 0 wobei c aber pos. ist, kommen.
wenn ich nun : betrachte:
$ [mm] c\leq \frac{||f(x+h)-f(x)||}{||h||} [/mm] $
das ist ja äquivalent zu
c [mm] \le \bruch{||Ah + o(h)||}{||h||} [/mm]
[mm] \le
[/mm]
[mm] \bruch{||Ah||}{||h||} [/mm] + [mm] \bruch{o(h)}{||h||} [/mm] mit [mm] \limes_{h \rightarrow 0}
[/mm]
[mm] \bruch{o(h)}{||h||} [/mm] = 0
darf ich nun den linken Ausdruck [mm] \bruch{||Ah||}{||h||} [/mm] kürzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Do 07.06.2012 | | Autor: | SEcki |
> darf ich nun den linken Ausdruck [mm]\bruch{||Ah||}{||h||}[/mm]
> kürzen?
Nein. Du musst argumentieren, warum er für bestimmte h 0 ist!
SEcki
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hmm..
mir ist klar so vom logischen her, dass bei h [mm] \not= [/mm] 0, wobei ja h ein Vektor [mm] \in R^n [/mm] ist, dass produkt von der nxn Jacobi matrix (möglicherweise) mit dem nx1 Vektor h = 0 sein kann. Nur wie kann ich das profimäßig aufschreiben?
Ich setze ja voraus, dass die determinante der nxn Matrix gleich 0 sei. Sie besitzt also nicht den vollen Rang. Kann ich das daraus ableiten? Wenn die matrix nicht vollen Rang hat und h [mm] \not= [/mm] 0, dann müsste das Produkt 0 sein? Oder irre ich mich?
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noch interessiert an Antwort bitte frage wieder öffnen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Fr 08.06.2012 | | Autor: | hippias |
Nimm eine Nullfolge aus dem Kern der Matrix.
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sry, aber ich hab keine Ahnung wie Folgen und der Kern zusammenhängen...
wenn ich mir die Matrix gleich Null setzte, bestimme ich normalerweise ein LGS um an den kern dran zu kommen
Soll ich zeigen, dass eine Nulltfolge existiert, sodass, die matrix nicht den max Rang haben kann, oder worauf willst du hinaus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Fr 08.06.2012 | | Autor: | hippias |
Ueberlege Dir, dass es eine Nullfolge aus dem Kern von $A$ gibt, deren Gleider [mm] $\neq [/mm] 0$ sind und leite damit einen Widerspruch zur Voraussetzung $0< [mm] c\leq \frac{||f(x+h)-f(x)||}{||h||}$ [/mm] her.
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sry ich glaub ich versteh den Zusammenhang zwischen Nullfolge und Kern er Matrix immer nocht nix.
soll ich für das x eine Punktfolge auswählen, die gegen 0 geht?
und das es dann ein x gibt [mm] \not= [/mm] 0, für dass die Matrix schon Null ist??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Sa 09.06.2012 | | Autor: | hippias |
> sry ich glaub ich versteh den Zusammenhang zwischen
> Nullfolge und Kern er Matrix immer nocht nix.
>
> soll ich für das x eine Punktfolge auswählen, die gegen 0
> geht?
Waehle eine Nullfolge aus dem Kern von $A$ fuer $h$, denn $h$ geht gegen $0$.
> und das es dann ein x gibt [mm]\not=[/mm] 0, für dass die Matrix
> schon Null ist??
Ja, dann ist $Ah= 0$.
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okay so 1000% versteh ichs immer nocht nicht, Aber du hast mir sehr geholfen, danke dir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Sa 09.06.2012 | | Autor: | hippias |
Nehmen $det A= 0$ an. Dann ist $Kern [mm] A\neq [/mm] 0$. Also gibt es ein [mm] $0\neq [/mm] h$ mit $Ah= 0$. Definiere [mm] $h_{n}:= \frac{1}{n}h$.Nach [/mm] Voraussetzung ueber $f$ gilt [mm] $0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Do 07.06.2012 | | Autor: | SEcki |
> det (A) = 0 => Ah = 0 möglich ist?
> wieso ist nicht
> det(A) [mm]\not=[/mm] 0 => Ah = 0 nicht auch möglich?
Die Determinante hat direkt mit der Invertierbarkeit der Matrizen zu tun.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 07.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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