glm. und abs. Konvergenz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Do 20.11.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | $ [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \mathbb [/mm] C$ gilt
$(1) [mm] \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n [/mm] = exp(z) $
Zeigen sie
$A) $Auf jedem Kreis [mm] $\overline{B_{R}(0)}:= \left\{z\in \mathbb C : |z| \leq R\right\} [/mm] $ ist die Konvergenz in $(1)$ gleichmäßig
b)auf $ [mm] \mathbb [/mm] C$ hingegen ist die Konvergenz nicht gleichmäßig |
aufgabe A) wollte ich mit dem M-Test von Weißerstrass machen,denn
[mm] \left(1+\frac{z}{n}\right)^n [/mm] ist eine Folge komplexwertiger Funktionen auf der Menge [mm] $\mathbb [/mm] C$ und da $R$ eine positive konstante ist,konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} R_{n}. [/mm] Damit folgt aus der Voraussetzung
[mm] $\overline{B_{R}(0)}:= \left\{z\in \mathbb C : |z| \leq R\right\} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n [/mm] = exp(z) $ konvergiert absolute.
bei der b keine Ahnung...:/
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Do 20.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\forall z \in \mathbb C[/mm] gilt
>
> [mm](1) \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = exp(z)[/mm]
>
> Zeigen sie
>
> [mm]A) [/mm]Auf jedem Kreis [mm]\overline{B_{R}(0)}:= \left\{z\in \mathbb C : |z| \leq R\right\}[/mm]
> ist die Konvergenz in [mm](1)[/mm] gleichmäßig
>
> b)auf [mm]\mathbb C[/mm] hingegen ist die Konvergenz nicht
> gleichmäßig
> aufgabe A) wollte ich mit dem M-Test von Weißerstrass
> machen,
Dieser Test ist doch für Funktionenreihen !
> denn
> [mm]\left(1+\frac{z}{n}\right)^n[/mm] ist eine Folge
> komplexwertiger Funktionen auf der Menge [mm]\mathbb C[/mm] und da [mm]R[/mm]
> eine positive konstante ist,konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} R_{n}.[/mm]
Was sind denn die [mm] R_n [/mm] ???????
> Damit folgt aus der
> Voraussetzung
>
> [mm]\overline{B_{R}(0)}:= \left\{z\in \mathbb C : |z| \leq R\right\} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = exp(z)[/mm]
> konvergiert absolute.
Der letzte Implikationspfeil [mm] \Rightarrow [/mm] ist doch völlig daneben !!!
FRED
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> bei der b keine Ahnung...:/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Do 20.11.2014 | | Autor: | LGS |
Hi Fred,
soll ich's denn jetzt mal mit dem binomischen lehrsatz probieren? und erhalte
[mm] $|\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}- \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{z^k}{n^k} [/mm] |$ , da [mm] $\exp [/mm] z := [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$ [/mm] ich komme bei der Abschätzung des $ [mm] |\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}- \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{z^k}{n^k}| [/mm] $ nicht weiter...
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Satz 7.4