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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, wie komme ich denn bei der gliedweisen Integration von:
[mm] f:(-1/4,1/4)\to \IR:x\mapsto\summe_{k=0}^{\infty}(-4)^{k}*x^{k}
[/mm]
auf F(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-4)^{k}}{k+1}*x^{k+1} [/mm] + c
= [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-4)^{k-1}}{k}* x^{k} [/mm] + c
?
Bitte um eine Vorgehensweise
lg Surfer
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Guten Tach
Das was da steht ist ja eine Potenzreihe. Und weil das eine Potenzreihe ist, darf man die gliedweise integrieren oder Differenzieren. Die erste Gleichheit ist einfach die Integration von [mm] $x^k$ [/mm] , das Integral davon ist ja bekanntermaßen [mm] \bruch{1}{k+1}x^{k+1}. [/mm] Die zweite Gleichheit folgt aus Indexverschiebung.
Guck dir mal die Summationsgrenzen an. Die $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-4)^{k}}{k+1}\cdot{}x^{k+1} [/mm] $ fängt ja bei $k=0$
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-4)^{k-1}}{k}\cdot{} x^{k} [/mm] $ fängt bei $k=1$ an. Deshalb muss man die Index um einen runtersetzten, damit die selbe summe rauskommt
Einen schönen Tach
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Alles klar, und was ist dann darunter zu verstehen:
Geben Sie f in geschlossener For an?
da muss man auf f(x) = [mm] \bruch{1}{1+4x} [/mm] kommen?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Forme um:
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}(-4)^{k}\cdot{}x^{k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-4x)^{k}$$
[/mm]
Nun wende die Formel für die geometrische Reihe an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Was bedeutet dann geschlossene Form? einfach eine Form ohne Grenzen oder?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Fr 20.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja! ne Summe geht ja immer weiter und weiter und weiter.. also ist sie sicher nicht "geschlossen"
Gruss leduart
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