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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Mi 05.03.2008 | | Autor: | toros |
hallo,
ich hab ein gekoppeltes gleichungssystem
[mm] 0=(A-M\omega^2)\vec{\epsilon}_1+B\vec{\epsilon}_2
[/mm]
[mm] 0=B\vec{\epsilon}_1+(A-M\omega^2)\vec{\epsilon}_2
[/mm]
wobei A und B matrizen sind und [mm] \epsilon_1 [/mm] und [mm] \epsilon_2 [/mm] linear abhängig sind. kann mir einer bitte sagen, wie man vorgeht, um am ende 2 nichttriviale lösungen zu erhalten??
(wären [mm] A,B,\epsilon_1 [/mm] und [mm] \epsilon_2 [/mm] konstanten, dann hätte man eine nichttriviale lösung, falls die determinante verschwinden würde, also [mm] (A-M\omega^2)^2=B^2 [/mm] und folglich [mm] \omega^2=\frac{A}{M}\pm\sqrt{B^2})
[/mm]
danke!
gruss toros
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Hallo!
Kannst du nochmal genau sagen, was was in deiner Gleichung ist? A und B sind Matrizen, dann M sicher auch. Was ist gesucht? [mm] \omega? \vec{\epsilon}_{1/2} [/mm] ?
Und sind die [mm] \vec{\epsilon}_{1/2} [/mm] sicher lin. abhängig? Sicher nicht, oder?
Grundsätzlich könntest du auch hier mit Matrizen arbeiten
[mm] 0=\pmat{(A-M\omega^2) & B \\ B & (A-M\omega^2)} \vektor{\vec{\epsilon}_1 \\ \vec{\epsilon}_2}
[/mm]
wobei sich die Dimension hier verdoppelt.
Oder auch dein Ansatz fürs eindimensionale. Da du nicht durch M dividieren darfst, müßtest du alle mit dem Inversen von M multiplizieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mi 05.03.2008 | | Autor: | toros |
hi,
M ist die masse, also eine konstante! es ist [mm] \omega_{1,2} [/mm] gesucht. im eindimensionalen (wie in meinem beispiel oben) ist ja [mm] \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}=\mp\frac{K+Ge^{ika}}{|K+Ge^{ika}|}, [/mm] was meiner meinung nach bedeudet, dass die beiden vektoren in 1d linear abhängig sind, oder? das gleiche vermute ich auch bei 2d...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mi 05.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo,
Wie kann man von ner Matrix ne Konstante abziehen, kennst du die Matrizen A und B, entsteht 2d aus M ne Matrix etwa der Trägheitstensor?
irgensdwas mehr musst du über dein System sagen. da normalerweise [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] die Einheitsbasisvektoren sind, ist es doch unwahrscheinlich, dass sie lin. abhängig sind. 1 dim "vektoren" = Zahlen sind immer lin. abh.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Mi 05.03.2008 | | Autor: | toros |
hi,
oops, da hast du natürlich recht!
wenn ich es dann so schreib
[mm] M\omega^2\vektor{\vec{\epsilon}_1 \\ \vec{\epsilon}_2} =\pmat{A & B \\ B & A} \vektor{\vec{\epsilon}_1 \\ \vec{\epsilon}_2} [/mm]
ist es richtig... 
gruss toros
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Hallo!
ja, das ist besser.
Gut, lin abhängig müssen die beiden [mm] \vec\epsilon [/mm] nicht sein, allerdings muss [mm] \vektor{\vec\epsilon_1 \\ \vec\epsilon_2} [/mm] ein Eigenvektor von der Matrix sein (Davon gibts maximal so viele wie Dimensionen)
Demnach würde ich nun alle Eigenwerte dieser AB-Matrix berechnen. Jeder Eigenwert gehört zu einem Eigenvektor, und für jeden kannst du ein [mm] \omega [/mm] berechnen, sodaß [mm] \lambda_i=M\omega_i
[/mm]
Die Matrix wird schnell groß, 4D oder 6D, was mit entsprechenden Polynomen verbunden ist. Vielleicht ist A oder B ja so gebaut, daß das ganze einfacher wird?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Do 06.03.2008 | | Autor: | toros |
hi,
da A und B 2x2 matrizen sind, ist [mm] \pmat{A & B \\ B & A} [/mm] eine 4x4 matrix. jetzt will ich diese matrix mit der transformation [mm] \vec{\epsilon}_{ +}=\vec{\epsilon}_{1}+\vec{\epsilon}_{2} [/mm] und [mm] \vec{\epsilon}_{ -}=\vec{\epsilon}_{1}-\vec{\epsilon}_{2} [/mm] auf eine 2x2 matrix bringen. kann mir einer bitte einen tipp geben, wie man das angeht?
gruss toros
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Do 06.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du verrätst uns ja nicht, was deine Geheimnisvollen A,B sind.
aber aus ner [mm] 4\times [/mm] 4 Matrix kann man keine [mm] 2\times [/mm] 2 zaubern.
Vielleicht solltest du doch das eigentliche Problem verraten?
Gruss leduart
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Ah, jetzt dämmert es mir, das paßt!
Wenn du dein [mm] \vec\epsilon_+ [/mm] und [mm] \vec\epsilon_- [/mm] nach [mm] \vec\epsilon_1 [/mm] und [mm] \vec\epsilon_2 [/mm] auflöst, und in deine zwei Gleichungen einsetzt, bekommst du:
[mm] M\omega(\vec\epsilon_++\vec\epsilon_-)=A\vec\epsilon_++A\vec\epsilon_-+B\vec\epsilon_+-B\vec\epsilon_-
[/mm]
[mm] M\omega(\vec\epsilon_+-\vec\epsilon_-)=A\vec\epsilon_+-A\vec\epsilon_-+B\vec\epsilon_++B\vec\epsilon_-
[/mm]
WEnn du die jetzt addierst, bekommst du ein 2D-Gleichungssystem, in dem nur noch [mm] \vec\epsilon_+ [/mm] vorkommt, durch Substaktion bekommst du entsprechend ein anderes System.
Damit sind die Gleichungen entkoppelt, wobei die [mm] \vec\epsilon_\pm [/mm] nun immernoch Eigenvektoren von A+B bzw A-B sein MÜSSEN! Und dann is das auch hier wieder ein Eigenwertproblem.
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