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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 12.03.2011 | | Autor: | susi111 |
| Aufgabe | die sehr widerstandsfähige aluminiumlegierung dural enthält außer aluminium bis zu 5% kupfer, bis zu 1,5% mangan und bis zu 1,6% magnesium.
a) welche legierungen mit 95% aluminium und 3% kupfer lassen sich aus den drei duralsorten A, B und C herstellen?
A B C
aluminium 96% 93% 93,2%
kupfer 2,5% 4,0% 3,9%
mangan 1,1& 1,4% 1,2%
magnesium 0,4% 1,6% 1,7%
b) lässt sich aus den duralsorten A, B, C eine legierung herstellen, die 95% aluminium, 3% kupfer, 1,2% mangan und 0,8% magnesium enthält. |
meine matrix sieht so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 1&1&1 \\ 96 & 93&93,2&95\\2,5&4&3,9&3 }
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \pmat{ 1 & 0&1/15&2/3 \\ 0 & 1&14/15&1/3\\0&0&0&0 }
[/mm]
[mm] x_{1}=2/3-1/15x_{3}
[/mm]
[mm] x_{2}=1/3-14/15x_{3}
[/mm]
da [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] größer als 0 sein müssen, kommt für [mm] x_{3} [/mm] jeweils heraus:
[mm] x_{3}<10
[/mm]
[mm] x_{3}<5/14\approx0,36
[/mm]
jetzt gibt es die ungleichungen mit mangan und magnesium:
[mm] 1,1x_{1}+1,4x_{2}+1,2x_{3}<1,5
[/mm]
[mm] 1,1*(2/3-1/15x_{3})+1,4*(1/3-14/15x_{3})+1,2x_{3}<1,5
[/mm]
[mm] x_{3}>-5/3\approx-1,6
[/mm]
das kann aber nicht sein, weil erstens keine minuszahlen herauskommen dürfen und zweitens als ergebnis >0,3 herauskommen muss (hat unsere lehrerin gesagt).
wisst ihr was ich für das mangan falsch gemacht hab?
auch für das magnesium hab ich etwas falsches raus. ich bin so vorgegangen wie beim mangan und bekomme [mm] 40/9\approx4,4 [/mm] heraus.
als ergebnis soll aber <2,57 rauskommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Sa 12.03.2011 | | Autor: | abakus |
> die sehr widerstandsfähige aluminiumlegierung dural
> enthält außer aluminium bis zu 5% kupfer, bis zu 1,5%
> mangan und bis zu 1,6% magnesium.
> a) welche legierungen mit 95% aluminium und 3% kupfer
> lassen sich aus den drei duralsorten A, B und C
> herstellen?
>
> A B C
> aluminium 96% 93% 93,2%
> kupfer 2,5% 4,0% 3,9%
> mangan 1,1& 1,4% 1,2%
> magnesium 0,4% 1,6% 1,7%
>
> b) lässt sich aus den duralsorten A, B, C eine legierung
> herstellen, die 95% aluminium, 3% kupfer, 1,2% mangan und
> 0,8% magnesium enthält.
Hallo,
es werden x kg der Legierung A, y kg der Legierung B und z kg der Legierung C gemischt.
Die dabei entstehende Gesamtmasse ist x+y+z.
Die dabei entstehende Al-Masse ist 0,96x+0,93y+0,932z.
Die dabei entstehende Cu-Masse ist 0,025x+0,04y+0,039z.
Die dabei entstehende Mn-Masse ist 0,011x+0,014y+0,012z.
Die dabei entstehende Mg-Masse ist 0,004x+0,016y+0,017z.
In Aufgabe a) müssen folgende zwei Gleichungen gelten:
0,96x+0,93y+0,932z=0,95(x+y+z)
0,025x+0,04y+0,039z=0,03(x+y+z)
mit nichtnegativen Werten x, y, z.
Das führt zu
0,01x-0,02y-0,018z=0 und
-0,005x+0,01y+0,009z=0
Verdoppeln der zweiten Gleichung und Addition zur ersten liefert
interessanterweise 0=0, also hat das GS unendlich viele Lösungen (die nur nicht negativ sein dürfen.
Wählen wir doch mal z=0, x beliebig positiv und y=2x. Diese Mischung bekommt die geforderten Al- und Cu-Anteile. Nun muss man noch z beliebig positiv wählen und in Abhängigkeit davon x und y so bestimmen, dass beide nichtnegativ bleiben.
Zu b) Die ersten beiden Gleichungen waren bis auf einen Faktor -2 miteinander identisch, man braucht also nur eine davon aufzuschreiben:
(1) 0,01x-0,02y-0,018z=0
Dazu kommen noch für Mangan
0,011x+0,014y+0,012z=0,012(x+y+z) bzw. -0,001x+0,002y+0z=0
Das bedeutet im Klartext: (2) x=2*y
Für Magnesium muss gelten
0,004x+0,016y+0,017z=0,008(x+y+z) bzw. -0,004x+0,008y+0,009z=0
Das bedeutet im Klartext (3) x=2y-(9/4)z.
Gleichungen (2) und (3) führen auf z=0. Damit führt auch Gleichung (1) auf x=2*y.
Somit erfüllt jede Legierung aus 2 Teilen A und einem Teil B (ohne Verwendung von Sorte C) auf die gewünschten Anteile aller 4 Elemente.
Gruß Abakus
> meine matrix sieht so aus:
> [mm]\pmat{ 1 & 1&1&1 \\ 96 & 93&93,2&95\\2,5&4&3,9&3 }[/mm]
>
> daraus folgt:
> [mm]\pmat{ 1 & 0&1/15&2/3 \\ 0 & 1&14/15&1/3\\0&0&0&0 }[/mm]
>
> [mm]x_{1}=2/3-1/15x_{3}[/mm]
> [mm]x_{2}=1/3-14/15x_{3}[/mm]
>
> da [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] größer als 0 sein müssen, kommt für
> [mm]x_{3}[/mm] jeweils heraus:
>
> [mm]x_{3}<10[/mm]
>
> [mm]x_{3}<5/14\approx0,36[/mm]
>
> jetzt gibt es die ungleichungen mit mangan und magnesium:
> [mm]1,1x_{1}+1,4x_{2}+1,2x_{3}<1,5[/mm]
> [mm]1,1*(2/3-1/15x_{3})+1,4*(1/3-14/15x_{3})+1,2x_{3}<1,5[/mm]
> [mm]x_{3}>-5/3\approx-1,6[/mm]
>
> das kann aber nicht sein, weil erstens keine minuszahlen
> herauskommen dürfen und zweitens als ergebnis >0,3
> herauskommen muss (hat unsere lehrerin gesagt).
> wisst ihr was ich für das mangan falsch gemacht hab?
>
> auch für das magnesium hab ich etwas falsches raus. ich
> bin so vorgegangen wie beim mangan und bekomme
> [mm]40/9\approx4,4[/mm] heraus.
> als ergebnis soll aber <2,57 rauskommen.
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